Definitheit der quadratischen Form qA(x,y,z)= x^2 + 3xy - z^2 bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Definitheit der quadratischen Form

\( q_{A}(x, y, z)=x^{2}+3 x y-z^{2} \)

Definition:

Eine quadratische Form \( q_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) heißt

(i) positiv semidefinit, wenn \( q_{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{x}) \geq 0 \). für alle \( \boldsymbol{x} \);
(ii) (strikt) positiv definit, wenn \( q_{A}(\boldsymbol{x})>0 \) für alle \( x \neq \boldsymbol{o} \);
(iii) negativ semidefinit, wenn \( q_{A}(\boldsymbol{x}) \leq 0 \) für alle \( \boldsymbol{x} \);
(iv) (strikt) negativ definit, wenn \( q_{A}(\boldsymbol{x})<0 \) für alle \( \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{o} \);
(v) indefinit, wenn \( q_{A}(\boldsymbol{x}) \) positive und negative Werte annimmt.

Ansatz/Problem:

Ich weiß nicht, wie ich das interpretieren soll. Bei einer Matrix schaut man auf das Vorzeichenschema der Hauptminoren, hier komme ich leider nicht weiter.

Comments

Möglicherweise genügt es, \(q_A(1,0,0)\) und \(q_A(0,0,1)\) zu berechnen.

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Wenn ich qA (1,0,0) und qA (0,0,1) berechne, kommt für beides 1 raus. nach Definition ist die Gleichung dann negativ Definit.

Muss man bei so einer Gleichung immer diese 3 Punkte einsetzen, oder woher weiß man, was man berechnen muss ?

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in der Lösung heißt es jedoch indefinit.

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Ich habe \(q_A(0,0,1)=-1\).

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oh, stimmt habe mich verrechnet, sorry. Jetzt ist es auch indefinit. Eine Frage noch: muss ich bei einer quadratischen Form immer diese Punkte einsetzen, um die Definitheit zu ermitteln ?

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Nein. Wenn wie hier Indefinitheit vorliegt, genügt es, zwei beliebige Vektoren zu finden, die auf Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen abgebildet werden.

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Aber ich weiß ja nicht, ob hier Indefinitheit vorliegt.

Gibt es keinen allgemeinen Lösungsweg den ich bei solchen Aufgaben anwenden kann ?

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Ein solcher ist mir nicht bekannt und vermutlich gibt es auch keinen. Man muss wohl in jedem konkreten Einzelfall nachweisen, welcher der Punkte (i) bis (v) der Definition erfüllt ist.

Answer 1

Dass die indefinit ist, sieht mann leicht an dem "minus" in dem Term.
Wenn x^2 + 3xy > z^2 ist, dann kommen positive Werte raus und
bei   x^2 + 3xy < z^2   eben negative.

Da das eine nur von xy und das andere nur von z abhängt, kann man
leicht Beispiele für beide Fälle finden, etwa (1,1,0)
und ( o,o,1)

Kannst du auch über das Spektrum machen:

Du weisst, dass in der Diagonalen die Koeffizienten von x², y² und z² stehen.

Die übrigen Koeffizienten werden halbiert und symmetrisch zur Diagonalen verteilt.

Deshalb ist die Matrix deiner quadratischen Form

    1       1,5      0
(    1,5      0          0     )
       0         0        -1

und die hat die Eigenwerte 2,08   und -1  und -1,08

also positive und negative.

Damit indefinit.