Gleichung höheren Grades lösen: x^4-34x^2+225=0

Question

Wie löst man am besten Gleichungen höheren Grades?

Könnte man hier z.B. die "Mitternachts-" oder pq-Formel anwenden?

$$x^4-34x^2+225=0$$

Wie sähe es bei schwierigeren Graden aus:

$$x^4-34x^3+225x^2=0$$

Answer 1

x^4 - 34·x^2 + 225 = 0

Substitution z = x^2

z^2 - 34·z + 225 = 0

pq-Lösungsformel

z = 25 ∨ z = 9

Resubstitution x = ±√z

x = ± 5

x = ± 3

Comments

x^4 - 34·x^3 + 225·x^2 = 0

x^2·(x^2 - 34·x + 225) = 0

Satz from Nullprodukt und pq-Lösungsformel

x = 0 (doppelte Nullstelle)

x = 25

x = 9

Answer 2

Hi, die erste Gleichung ist quadratisch über dem Term \(x^2\), löse also diese biquadratische Gleichung und ziehe dann die Wurzel. Die zweite Gleichung lässt sich durch Ausklammern von \(x^2\) und anschließendem Aufspalten in zwei quadratische Gleichungen zerlegen.

Comments

Es geht auch leicht mit dem Satz von Vieta:

$$ \begin{aligned} x^4-34x^2+225 &= 0 \\ \left(x^2\right)^2-\left(9+25\right) \cdot x^2 + 9 \cdot 25 &= 0 \\ \left(x^2-9\right) \cdot \left(x^2-25\right) &= 0 \\ \left(x+3\right) \cdot \left(x-3\right) \cdot \left(x-5\right) \cdot \left(x+5\right) &= 0 \\\\ x=-3 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-5 \quad&\lor\quad x=5. \end{aligned} $$
Bei der anderen Gleichung läuft das entsprechend ähnlich.