Zusammengesetze Funktionen im Sachzusammenhang

Question

Die Funktion f mit f(x)=20x·e^2-0.05x beschreibt näherungsweise die Anzahl der Zuschauer, die pro Minute zu einer bestimmten Uhrzeit in ein Fußballstadion kommen. Der Wert x=0 entspricht der Uhrzeit 16:00 Uhr. Das Spiel fängt um 18:00 Uhr an.

 

a) Bestimmen Sie, um wie viel Uhr der Besucherandrang an den Eingängen am größten ist, wenn man als Modell die Funktion f zugrunde legt.

 

b) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F(x)=(-400x-8000)·e^2-0.05x  eine Stammfunktion von f ist und berechnen Sie, wie viele Zuschauer bei Anpfiff des Spiels ungefähr im Stadion sind, wenn man davon ausgeht, dass das Stadion um 16 Uhr noch leer ist.

 

 

Mein größtes Problem liegt darin, dass ich die Uhrzeiten irgendwie nicht mit der Rechnung verknüpfen kann. ..... 

 

Sind diese Ableitungen hier wenigstens richtig?^^:

f ' (x) = e^2-0.05x(-x+20)

f ' ' (x) = e^2-0.05x(0.05x-2)

 

 

 

 

Answer 1

 

Die Funktion f beschreibt näherungsweise die Anzahl der Zuschauer, die pro Minute zu einer bestimmten Uhrzeit in ein Fußballstadion kommen. Der Wert x=0 entspricht der Uhrzeit 16:00 Uhr. Das Spiel fängt um 18:00 Uhr an.

a) Bestimmen Sie, um wie viel Uhr der Besucherandrang an den Eingängen am größten ist, wenn man als Modell die Funktion f zugrunde legt.

f(x) = 20·x·e^{2 - 0.05·x}
f'(x) = e^{2 - 0.05x}·(20 - x) = 0

x = 20

Der Besucherandrang ist um 16:20 am größten

b) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F(x)=(-400x-8000)·e^2-0.05x  eine Stammfunktion von f ist und berechnen Sie, wie viele Zuschauer bei Anpfiff des Spiels ungefähr im Stadion sind, wenn man davon ausgeht, dass das Stadion um 16 Uhr noch leer ist.

F(x) = (- 400·x - 8000)·e^{2 - 0.05·x}
F'(x) = 20·x·e^{2 - 0.05·x}

F(120) - F(0) = 58087

Es sind dann ungefähr 58 Tausend Leute im Stadion.