Vergleichen Sie mittels Grenzwertkriterium das Konvergenzverhalten der Reihe...

Question

Aufgabe:

Vergleichen Sie mittels Grenzwertkriterium das Konvergenzverhalten der Reihe \( \sum \limits_{n \geq 1} \frac{n^{2}-n+3}{n^{5}-n^{4}+n^{3}-n^{2}+n+1} \) mit den Reihen

1. \( \sum \limits_{n \geq 1} \frac{1}{n} \)

2. \( \sum \limits_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}} \) und

3. \( \sum \limits_{n \geq 1} \frac{1}{n^{3}} \)

Answer 1

Wenn du nur einen Anfang brauchst:

Teile Zähler und Nenner summandenweise durch n^2

Nun kannst du aus einem Teil von Zähler und Nenner 1/n ausklammern

Ohne Faktor 1/n hast du oben: 1

und unten noch n^3 -n^2 +n -1

Im Grenzwert verhält sich deine Folge deshalb ungefähr so wie 1/n^3. Deshalb auch die Reihe.

1/n^2 und 1/n sind im Grenzwert grösser als deine Folge.

Mach das nun so genau wie möglich gemäss deinen Unterlagen.

Comments

warum durch n hoch zwei teilen und wie meinen sie daa genau summandenweise??

Answer 2

Einfach die Ausgangsreihe jeweils durch die (harmonischen) Vergleichsreihen teilen und dann Grenzwert für n gegen unendlich mit der Regel von l'Hospital berechnen. Ist dieser größer als 0 haben beide Reihen dasselbe Konvergenzverhalten.