Berechnen Sie die Winkel zwischen der Ebene und den Koordinatenebenen.

Question

Aufgabe:

a) Berechnen Sie die Winkel zwischen der Ebene E in der Figur und den Koordinatenebenen.

b) Unter welchen Winkeln schneiden die Koordinatenachsen die Ebene E?

c) Berechnen Sie die Innenwinkel des Schnittvierecks \( A B C D \).

d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD. Zerlegen Sie es dazu in die Dreiecke \( A B D \) und \( C D B \).

Answer 1

Irr ich mich oder ist gar nicht angegeben wo der Punkt D liegt ? Soll man ausgehen das er die Seite im Verhältnis 2:1 teilt ?

Ich kann dir helfen. Was hast du den schon selber gemacht ?

Comments

Das steht am Anfang der zweiten Zeile in der Aufgabe.

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D kann man ja selber ausrechnen. Sorry.

A = [4, 2, 4]

B = [4, 4, 1]

C = [0, 4, 2]

D = [0, x, 4]

Ebene ABC aufstellen

AB = [4, 4, 1] - [4, 2, 4] = [0, 2, -3]

AC = [0, 4, 2] - [4, 2, 4] = [-4, 2, -2]

N = AB ⨯ AC = [0, 2, -3] ⨯ [-4, 2, -2] = [2, 12, 8] = 2·[1, 6, 4]

E: X·[1, 6, 4] = [4, 2, 4]·[1, 6, 4]

E: x + 6·y + 4·z = 32

Koordinaten von D herausfinden

0 + 6·y + 4·4 = 32 --> y = 8/3

a) Schnittwinkel mit den Koordinaten-Ebene

xy-Ebene: ARCCOS(([0, 0, 1]·[1, 6, 4])/√53) = 56.67°

xz-Ebene: ARCCOS(([0, 1, 0]·[1, 6, 4])/√53) = 34.50°

yz-Ebene: ARCCOS(([1, 0, 0]·[1, 6, 4])/√53) = 82.10°

b) Schnittwinkel von E mit den Achsen

x-Achse: ARCSIN(([1, 0, 0]·[1, 6, 4])/√53) = 7.90°

y-Achse: ARCSIN(([0, 1, 0]·[1, 6, 4])/√53) = 55.50°

z-Achse: ARCSIN(([0, 0, 1]·[1, 6, 4])/√53) = 33.33°

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das einzige, was dort noch steht ist: Wählen sie jeweils BD als Grundseite

Mein Problem ist ja, dass ich keonen Ansatz finde. Ich weiß nicht so recht, wie ich das mit den Zahlen handhaben soll und ich habe jetzt schon überlegt aber ich weiß bei a) gar nicht, wo die Koordinatenebne liegt

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Da du jetzt auch alle Punkte hast kannst du auch ohne Probleme die Innenwinkel bestimmen. Nimm dazu einfach den Winkel der Vektoren die den Winkel bilden.

Auch die Fläche sollte mit dem Kreuzprodukt nun nicht wirklich schwer werden.

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Die Punkte A, B und C kannst du direkt aus der Skizze ablesen. D kann man nicht direkt ablesen. Dazu muss man zunächst eine Ebenengleichung von ABC bilden und dort dann einfach D einsetzen um damit y Zu bestimmen.

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Also schon einmal ein großes Dankeschön! Jetzt habe ich auch endlich verstanden, wie die Vektoren in die Aufgabe kommen :)

Ich probiere es jetzt ersteinmal und falls ich dann noch Probleme habe melde ich mich.

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Hey Mathecoach,

ich habe jetzt alles noch einmal selbst nachgerechnet, um es nach vollziehen zu kömmen.
Eine Frage habe ich zu den Koordinatenebenen also xz, xy, yz  die Koordinaten von denen sind immer so gegeben oder also bei z.B.: xz [0,1, 0] → ich hatte auch nochmal gegoogelt also das ist wie so eine Art feste Regel oder?

Und das gleiche gilt dann auch bei den Koordinatenachsen, so wie ich das jetzt verstanden hatte.

So nun aber zu Aufgabe c)

also Ich dachte mir, dass ich bei c) die  Innenwinkel berechne, indem ich zum Beispiel für den Winkel bei A

erst die Strecke AD und AB berechne, dann hätte ich die Vektoren. Die würde ich dann in die Formel für zwei Geraden und ihren Schnittwinkel einsetzen.

Hmm... ich habe gerade noch einmal überlegt und glaube der Ansatz ist falsch

Meine Lösunge zu A  wäre:

Für A :

AB= [0,2,-3] AD=[-4, 2/3, 0]   → ARCCOS ((4/3)/√13 * √16,444) = 84,7678°

ich mach auch gerne noch den Rest an Lösungen nur ich wollte mich ersteinmal versichern, ob das überhaupt richtig ist.

Danke schonmal für die HIlfe

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Winkel bei A

ARCCOS(([4, 4, 1] - [4, 2, 4])·([0, 8/3, 4] - [4, 2, 4])/(ABS([4, 4, 1] - [4, 2, 4])·ABS([0, 8/3, 4] - [4, 2, 4])))

= 84.77°

Deine Rechnung ist richtig.

Die x Achse hat den Vektor [1, 0, 0] weil dieser in die Richtung der x-Achse weist.

Die yz Ebene hat den Normalen-Vektor [1, 0, 0] weil dieser senkrecht auf der yz-Ebene steht.

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So ich habe jetzt meine Rechnung fertig und bin darauf gekommen:

(Tut mir leid, wenn es unleserlich ist) Ich werde es auch alles noch einmal sauber zu Papier bringen, aber es ist einfacher das ganze so zu überprüfen als es alles einzel abzutippen.

Jetzt der Flächeninhalt:

Wäre cool, wenn du noch einmal drüberschaust. Ich hoffe natürlich alles ist richtig.

Schonmal ein riesen Dankeschön für deine Hilfe!!!

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Weißt du schon, ob es richtig oder falsch ist?

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A = [4, 2, 4]

B = [4, 4, 1]

C = [0, 4, 2]

D = [0, 8/3, 4]

Ich hätte als Fläche folgendes heraus

1/2·ABS(([4, 4, 1] - [4, 2, 4]) ⨯ ([0, 8/3, 4] - [4, 2, 4])) + 1/2·ABS(([4, 4, 1] - [0, 4, 2]) ⨯ ([0, 8/3, 4] - [0, 4, 2]))

= √53 + 2/3·√53 = 5/3·√53 = 12.13

Bei den Flächen hab ich etwas völlig anderes heraus. Warum rechnest du so umständlich?