ein Physikstudent gab mir gestern folgende Aufgabe:
Bestimme folgendes Integral und beweise deine Lösung mit vollständiger Induktion:
$$ { I }_{ n } = \int_{0}^{\infty} (x^n \cdot { e }^{ -x } ) dx = ??? $$
Nun, meine Idee war erstmal, irgendwie mit der partiellen Integration zu arbeiten und dabei zu beachten, dass für beliebige n gilt:
$$ \lim_{x\to\infty} (x^n * e^{-x}) = 0$$
Ok, nun wende ich die partielle Integration an:
f(x) = x^n; g'(x) = e^{-x}
$$ { I }_{ n } = \int_{0}^{\infty} (x^n \cdot { e }^{ -x } ) dx = -x^ne^{-x} -\int_{0}^{\infty}nx^{n-1} \cdot ({-e}^{-x}) dx$$
So viel zu meinem Ansatz. Nun hatte ich die Idee, das mal für beliebige n auszuprobieren:
$$ { I }_{ 2 } = \int_{0}^{\infty} (x^2 \cdot { e }^{ -x } ) dx = -x^2e^{-x} -\int_{0}^{\infty}2x \cdot ({-e}^{-x}) dx = -x^2e^{-x} -(2x \cdot e^{-x} -2e^{-x}) = e^{-x} \cdot (-x^2 -2x +2) = ?$$
Nun komme ich irgendwie nicht weiter...ich habe da irgendwo nen Fehler. Ich vermute, dass ich die Integrationsgrenzen vergessen hab. Ich weiß nur nicht, wie ich die bei der partiellen Integration da einsetzen soll und so...könnt ihr mit bitte, bitte helfen? Ich verzweifel sonst an dieser Aufgabe! Laut Internet solle man auf n! kommen, nur komme ich da nicht drauf. Logischerweise müsste ja bei dem von mir falsch berechneten Integral 2 raus kommen...nur komme ich da nicht drauf :(
Ich kann ja auch nichts beweisen, wenn ich nicht mal selbst auf dieses n! komme.... :/
Vielen lieben Dank im Voraus!
LG ShD
