DGL: Eiserne Hohlkugel

Question

Eine eiserne Hohlkugel mit innerem Radius r und äusserem Radius 2r habe an der Innenfläche eine konstante Temperatur von 100° und an der Aussenfläche eine solche von konstant 20°. Bestimmen Sie die Temperatur T(x) an der Kugelwandung in einem beliebigen Abstand x vom Mittelpunkt(r≤x≤2r) sowie bei x=1.6r.

Hinweis: Die Änderungsrate dT / dx der Temperatur in einem wärmeleitenden Medium mit stationärer (d.h. zeitlich konstanter) Temperaturverteilung ist umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche des Mediums an der Stelle x.

Leider fällt mir kein Ansatz ein, ich weiss lediglich, dass dies mit Differentialgleichungen zu tun hat.

Answer 1

Die Änderungsrate dT / dx der Temperatur in einem wärmeleitenden Medium mit stationärer (d.h. zeitlich konstanter) Temperaturverteilung ist umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche des Mediums an der Stelle x.

Bedeutet übersetzt:

\( T'(x) = \frac{a}{A(x)} \) wobei \(a\in\mathbb{R}\) und \(A(x)\) ist die Querschnittsfläche an der Stelle \(x\). Die Formel dafür musst du selber aufstellen.