DGL lösen: Was geschieht mit Konstante in ML?

Question

Es soll die Differentialgleichung gelöst werden:

$$2yy'=x$$

Musterlösung und WA sagen: $$y = \pm\frac {\sqrt{x^2+C}}{\sqrt {2}}$$

Ich löse mal vor:

$$\int 2ydy= \int xdx$$

$$y^2+C_1 = \frac {x^2}{2}+C_2\quad , C_2-C_1=C$$

$$y=\sqrt {\frac {x^2}{2}+C}$$

Ich wüsste jetzt aber nicht, wie man die Konstante in den Zähler kriegt. Höchstens mit Nenner multiplizieren, doch dann bräuchte ich ja eine neue Konstante, oder?

Answer 1

indem Du den Hauptnenner bildest

y=sqrt(x^2 /2+C)= sqrt((x^^2 +2C)/2)

y=sqrt(x^2+2C)(sqrt(2)

2C=C_1 als neue Konstante