Basis und Unterraum bestimmen

Question

Aufgabe:

a)

\( B:=\left\{\overline{v^{l}}, \overline{v^{2}}, \overline{v^{3}}\right\}, U:=\operatorname{Spann}(B) \)

Man definiere:

\( \overline{w^{l}}=\overline{v^{l}}-\overline{v^{3}} ; \overline{w^{2}}=2 \overline{v^{l}}+\overline{v^{2}} ; \overline{w^{3}}=\overline{v^{l}}+\overline{v^{2}}-\overline{v^{3}} \)

Zeigen Sie

\( C:=\left\{\overline{w^{l}}, \overline{w^{2}}, \overline{w^{3}}\right\} \) ist eine Basis von \( U \) falls \( B \) Basis von \( U \) ist

b)

Es sei \( V:=\operatorname{Span}\left\{\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)\right\} \)
ein Untteraum des \( R^3 \). Bestimmen Sie eine Basis von \( V^{\perp} \)

Ansatz/Problem:

zu a) Ich denke, dass ich eine LGS austellen muss und dann die lineare Unabhängigkeit zeigen?

Answer 1

zu b). Sei \(v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in V^\bot\). Dann gilt \(2x+y-2z=0\).
Es folgt \(y=2z-2x\) und damit$$v=\begin{pmatrix}x\\2z-2x\\z\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}.$$Also ist \(V^\bot=\operatorname{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\right\}.\)

Answer 2

Zu a)

1 0 -1

2 1 0

1 2 -1

Das wäre dein LGS.

Ich weiß nicht ob du nch zeigen musst, dass w1 w2 und w3 in U liegen.

Zu b)
In Linearer Algebra bin ich nicht mehr ganz so frisch :D
Du willst doch eine Basis des Orthogonalen Komplements von V erstellen oder?
Reicht es dann nicht,die Vektoren zu bestimmen, die orthogonal auf (2,1,-2)^T liegen und davon den span zu nehmen?
EDIT: Vorgehensweise bei b ist richtig,wurde mir grade durch die andere Antwort bestätigt.

Comments

danke für die Antwort aber wie zeige ich jetzt ob die Vektoren in U liegen?
danke im voraus

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Denke nicht,dass du das musst. Kannst vielleicht noch hinschreiben, dass w1 w2 und w3 Linearkombinationen aus v1,v2,v3 sind.

Normalerweise müsstest du halt die Vektoren mit der Basis darstellen(Linearkombination),aber dies ist ja bereits der Fall.