Geschlossene Form für Fourierreihe. Funktion f(x)=∑cos(nx)/2^n.

Question

Die Funktion

\( f(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n x)}{2^{n}} \)

soll mit \( 5-4 \cos (x) \) multipliziert werden und man soll durch Umformung zeigen dass

\( f(x)=\frac{2 \cos (x)-1}{5-4 \cos (x)} \)

Ansatz/Problem:

Weiß jemand, wie man die Reihe so umformen kann, dass die geschlossene Form herauskommt?

Answer 1

Hi,

benutze, dass gilt:

$$  cos(nx) = \frac{1}{2} \left( e^{inx} + e^{-inx}  \right) $$

Jetzt einsetzten ergibt:

$$ \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{ e^{inx} + e^{-inx} }{2^n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{e^{ix}}{2} \right)^n + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{e^{-ix}}{2} \right)^n $$

Mit der Formel für die geometrische Reihe folgt:

$$ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{e^{ix}}{2} \right)^n = \frac{e^{ix}}{2 - e^{ix}}  $$ und ebenso

$$ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{e^{-ix}}{2} \right)^n = \frac{e^{-ix}}{2 - e^{-ix}}  $$

Das wieder eingesetzt und ausmultipliziert ergibt das Ergebnis.

Bevor man die Summen auseinanderzieht, sollte man sich noch überlegen, ob man das überhaupt darf. Dazu sollte man für die zu untersuchende Summe eine konvergente Majorante suchen, was nicht schwierig ist, weil ja \(  |cos(nx) \le 1| \) gilt.