Trigonometrie Beweis : cosα * √(1+tan^2 α) =1

Question

Begründe die Gültigkeit der Beziehung cosα * √(1+tan²α) =1 

Die Wurzel befindet sich über dem 1+tan^2α

Mithilfe von sin cos tan

Mithilfe vom Strahlensatz

Comments

Ok. Dann klammere das so, falls du noch Zeit zum Bearbeiten hast:

cosα * √(1+tan²α) =1

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Geht leider nicht mehr.Aber danke für den Hinweis. Werde beim nächsten Mal darauf Acht geben.

Answer 1

cosα*√(1+tan²α)=1        | tan(x) = sin(x) / cos(x)

                      |Ich schreibe x statt alpha

= cos(x) * √(1 + sin^2(x) / cos^2(x) )        | Brüche addieren

= cos(x) * √(cos^2(x) / cos^2(x)  + sin^2(x)/cos^2(x) ) 

= cos(x) * √(cos^2(x)  + sin^2(x)) /cos^2(x) )   | Pythagoras im Zähler

= cos(x) √(1/(cos^2(x))       |Wurzel ziehen

= cos(x) / |cos(x)|         |Hier darfst du den Betrag nur weglassen und kürzen, wenn du sicher bist, dass  cos(x) > 0 gilt. Wenn alpha zum Beispiel ein spitzer Winkel ist, ist das erlaubt, sonst nicht.

 cos(x) / cos(x) = 1 

           

Answer 2

COS(α)·√(1 + TAN(α)^2) = 1

= COS(α)·√(1 + SIN(α)^2/COS(α)^2) = 1

= COS(α)·√(COS(α)^2/COS(α)^2 + SIN(α)^2/COS(α)^2) = 1

= COS(α)·√((COS(α)^2 + SIN(α)^2)/COS(α)^2) = 1

= COS(α)·√(1/COS(α)^2) = 1

= COS(α)·1/COS(α) = 1

= COS(α)·1/COS(α) = 1

= 1 = 1

Ist das denn wirklich so. Nicht für alle Winkel oder? Was ist wenn der COS() negativ wird?

Comments

Den negativen Fall werden wir erst nächstes Jahr lernen.

Wie löst man diese Aufgabe mit dem Strahlensatz?

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Der Strahlensatz wird benutzt, wenn tan(x) = tan(x) : 1  durch sin(x)  : cos(x) = sin(x)/cos(x) ersetzt wird.

Der Rest ist Algebra.

EDIT: Stahlensatz allein ergibt Verhältnisse und nicht direkt eine solche mit Wurzeln zusammengesetzte Gleichungen.