Betragsungleichung lösen (|2.5x-3|<= 2,5|x+1|)

Question

Hi,

ich habe folgende Betragsungleichung versucht zu lösen, bekomme aber nicht das in der Lösung angegebene Ergebnis ("[1/10, ∞)").

Aufgabe:

|2.5x-3|<= 2,5|x+1|

Nach der Fallunterscheidung erhalte ich bei

1) 2,5x - 3 < 0
2) x + 1 >= 0
3) -(2,5x - 3) <= 2,5(x+1)

folgende Intervalle

1)  x < 1,2
2) x >= -1
3) 0.1 <= x

Also [-1,1.2)  (-1 bis 1,2)

Bei der anderen Fallunterscheidung erhalte ich

1) 2,5x - 3 >= 0
2) x + 1 >= 0
3) 2,5x - 3 <= 2,5(x+1)

folgende Intervalle

1) x >= 1,2
2) x >= -1
3) -3 <= 2,5

Also [1.2,∞) (1,2 bis unendlich)

Bei den anderen Fallunterscheidungen habe ich keine Lösungen gefunden. Also müsste das Gesamtergebnis doch [-1,∞) lauten und nicht erst bei 1/10 beginnen, oder? (-1 bis unendlich)

Gruß

Answer 1

Du überlegst dir zuerst wann der Absolutbetrag
anders behandelt werden muß

| 2.x - 3 |
ist 2x - 3 > 0 gilt 2 x - 3
ist 2x - 3 < 0 gilt ( 2x -3 ) * (-1)

2x - 3 = 0 => x = 1.2

x + 1 = 0  => x = -1

Jetzt zeichnest du einen Zahlenstrahl und
trägst x = -1 und x = 1.2 ein.

Es entstehen drei Bereiche a,b,c
x < -1
-1 < x < 1.2
x > 1.2

Für diese Bereiche mußt du die Gleichung untersuchen.
Wobei für x < -1 gilt | 2x - 3 | = ( 2x -3 ) * (-1)

Comments

Was genau bedeutet
ist 2x - 3 > 0 gilt 2 x - 3
ist 2x - 3 < 0 gilt ( 2x -3 ) * (-1)
?

---

Das Betragszeichen oder abs ( ) bedeutet

| positiver Wert |  = positiver Wert
| negativer Wert | = ( negativer Wert )* ( -1 ) = positver Wert

| 4 | = 4
| -4 | = ( -4 ) * (-1 ) = 4

Ist  ( 2x - 3 ) > 0 = positiv gilt : 2 x - 3
ist ( 2x - 3 ) < 0 = negativ gilt : ( 2x -3 ) * (-1) 

Answer 2

Hi, die Ungleichung beschreibt alle reellen Zahlen \(x\), die von der Zahl \(1.2\) höchstens so weit entfernt sind wie von der Zahl \(-1\). Irgendwas stimmt also bei deiner Rechnung nicht.

Comments

Hi, danke für die Antwort. Wenn dem so ist, kann es ja nur die -1 sein. Leider wüsste ich jetzt nicht, was ich genau falsch gemacht habe bei dieser Fallunterscheidung:

1) 2,5x - 3 < 0
2) x + 1 >= 0
3) -(2,5x - 3) <= 2,5(x+1)

folgende Intervalle

1)  x < 1,2
2) x >= -1
3) 0.1 <= x

---

Ok, in diesem Fall müssen alle drei Ungleichungen erfüllt werden, das führt auf \(0.1\le x \lt 1.2\).

---

Hi, danke für die Antwort. Genau dieser Schritt fehlt mir, könntest du den vielleicht kurz erklären? Wie prüfe ich, ob alle drei Ungleichungen erfüllt werden?

Answer 3

$$$$hier ist keine Fallunterscheidung notwendig. Quadrieren liefert unmittelbar$$\vert2.5x-3\vert\le2.5\vert x+1\vert\Leftrightarrow(x-1.2)^2\le(x+1)^2\Leftrightarrow0.1\le x.$$