Exponentialungleichung! die bevölkerung einer stadt ist von 2002 bis 2011 annähernd exponentiell gewachsen...

Question

Im Jahr 2007 waren es 42000 Einwohner, 2011 waren es 50000. Wie viele Einwohner werden es im Jahr 2015 sein? Und wann wird die Stadt mindestens 65000 Einwohner Haben?

Answer 1

Im Jahr 2007 waren es 42000 Einwohner, 2011 waren es 50000.
Wie viele Einwohner werden es im Jahr 2015 sein? Und wann
wird die Stadt mindestens 65000 Einwohner Haben?

Hier die konventionelle Berechnung.

2007 wird als t = 0 angesetzt

f ( t ) = b0 * f ^t
f ( 0 ) = b0 * f ^0 = b0 * 1 = b0 = 42000

f ( t ) = 42000 * f ^t
f ( 4 ) = 42000 * f ^4 = 50000

f ^4 = 50000 / 42000  | entweder ln ( ) oder
f = ( 50000 / 42000 )  ^{1/4}

f =1.045

f ( t ) = 42000 * 1.045 ^t

t  von 2015 = 8
f ( 8 ) = 42000 * 1.045 ^8
f ( 8 ) = 62053 Einwohner

f ( t )  42000 * 1.045 ^t = 65000
1.045 ^t = 1.5476
t = ln ( 1.576 ) / ln ( 1.045 )
t = 9.92 Jahre
2007 + 9.92 = 2016.92

Comments

Ich habe die gleiche Aufgabe nur mit anderen Angaben. Deine Lösung hat mir sehr geholfen. Danke also auch meinerseits.
Jedoch hab ich eine Frage.

f ( t )  42000 * 1.045 ^t = 65000 
1.045 ^t = 1.5476 
t = ln ( 1.576 ) / ln ( 1.045 ) 
t = 9.92 Jahre 

Wieso wird hier mit ln gerechnet und nicht log? Bei mir im Buch wird bei Ermittlungen von Zeiten im Exponenten nur log benutzt.

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Prinzipiell kann die Basis des Logarithmus beliebig
gewählt werden. Es wird dasselbe herauskommen

t = ln ( 1.5476 ) / ln ( 1.045 ) = 0.4367 / 0.044 = 9.92

log(10)
t = log ( 1.5476 ) / log ( 1.045 ) = 0.18966 / 0.0191 = 9.92

ln : Basis e
log : wird machmal wie der ln mit Basis e verwendet
log oder log ( 10 ) : zur Basis 10

ln ( ) und e ( ) werden zumeist verwendet weil sie
Umkehrfunktionen sind.

Nachtrag : hier im Forum wird üblichweise das " du " verwendet.

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Komisch, gestern ist mir da wahrscheinlich ein Fehler unterlaufen, weil mit log was anderes rauskam bei mir. Rechenfehler, jetzt stimmts. Jedenfalls danke für die Antwort :)

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Ich nehme an du bist im Forum um deine Mathekenntnisse
zu verbessern.
Wenn du mit deiner Anfrage wieder etwas dazugelernt hast
dann hat das Mathe-Forum genau seinen Zweck erfüllt.

mfg Georg

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Wieso hoch 1/4 das verstehe ich nicht ganz :/

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f ^4 = 50000 / 42000
f ^4 hoch 1/4 = ( 50000 / 42000  ) ^(1/4)
f ^( 4 * 1/4 ) = ...
f ^1 = ...
f = ...

Answer 2

Im Jahr 2007 waren es 42000 Einwohner, 2011 waren es 50000. Wie viele Einwohner werden es im Jahr 2015 sein? Und wann wird die Stadt mindestens 65000 Einwohner Haben?

2011 - 2007 = 4

(50000/42000)^{1/4} = 1.045

42000 * 1.045^x = 65000 --> x = 9.921593667

2017 kann man mit 65000 Einwohnern rechnen.

Comments

Ich hätte da eine Frage, wieso tut man hoch 1/4?

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Bei exponentiellen Wachstum gibt es einen Faktor q, der angibt, auf das Wievielfache des ursprünglichen Wertes die Größe in einer Zeiteinheit (hier: in einem Jahr) gewachsen ist.

2007:      42000

2008:      42000·q

2009:      (42000·q)·q

2010:      (42000·q·q)·q

2011:      (42000·q·q·q)·q (und das sind 50000).

Also ist die Gleichung 42000·q⁴ =50000. zu lösen.

Das ergibt q⁴=50000/42000.

Um q zu ermitteln, bildet man von beiden Seiten die 4. Wurzel.

Beachte: \( \sqrt[4]{x} =x^{\frac{1}{4}}\)