Wie löse ich folgendes Gleichungssystem? 1. a+b = 47; 2. a+b*e^{-7k}=26; 3. a+b*e^{-14k} = 16

Question

folgendes versuche ich zu lösen;

f(x) soll a+b*e^{-kt}  sein

Dazu drei Gleichungen

1. a+b = 47
2. a+b*e^{-7k}=26
3.a+b*e^{-14k} = 16

Würde mich über Lösung und -schritte freuen!!

Comments

1.2.3. sind die Nummern der Gleichungen? oder sind das Faktoren von a?

EDIT: Du hast hier kein LGS (lineares Gleichungssystem). Grund:  e^{-7k} hat eine Unbekannte im Exponenten. Daher oben LGS durch Gleichungssystem ersetzt.

Answer 1

1. Schritt: aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten mache ich 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. (III)'' und (I) 

a+b*e^-7k=26 

b*e^-7k=26 -a

e^-7k= (26-a)/b

e^{-14k} = ((26-a)/b)^2

(III)' a+b*((26-a)/b)^2 = 16

(III)'' a+((26-a)^2/b = 16 

(I)  a+b = 47 ---> b = 47-a      einsetzen in (III)'

2. Schritt aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten wird 1 Gleichung mit 1 Unbekannten.

(III)' a+((26-a)^2/(47-a) = 16        | * Hauptnenner

....-------> quadratische Gleichung.

usw.

Bis hierhin nachrechnen. Danach kommst du sicher zu a, b und k. 

Comments

Danke sehr bin dabei es nachzuvolliehen, Frage : darf ich bei dem Schritt:

(III)' a+b*((26-a)/b)² = 16

(III)'' a+((26-a)²/b = 16 

einfach die Potenz verschieben?? Immer?

LG

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(III)' a+b*((26-a)/b)² = 16

III)' a+b*((26-a)^2/b² = 16         | b kürzen

(III)'' a+((26-a)²/b = 16 

Da wurde nichts "verschoben". Nur mit b gekürzt.

Answer 2

Auch folgender Weg führt zur Lösung:

Gegeben: a+b=47; a+b*e^{-7k}=26; a+b*e^{-14k}=16
Nach Einführen von e^{-7k}=x lauten die drei Gleichungen:
I   a+b=47
II  a+b*x=26
III a+b*x^2=16

Mit a=47-b (aus I) wird aus II und III:
IIa   b*(1-x)=21
IIIa  b*(1-x^2)=31

Mit b=21/(1-x)  (aus IIa) geht IIIa über in
21*(1-x^2)/(1-x)=21*(1+x)=31  und man erhält daraus:
x=10/21

Aus der Gleichsetzung:
e^{-7k}=10/21  folgt:
k=-!/7*ln(10/21)=0.105991049
und weiterhin aus IIa:
b=21/(1-x)=21^2/11=40.091
sowie aus I:
a=b-47=6.901

Comments

Der Weg ist super, danke, hänge grade an folgendem Schritt was das Verständnis betrifft:

Mit a=47-b (aus I) wird aus II und III:
IIa   b*(1-x)=21
IIIa  b*(1-x²)=31

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Entschuldigung!
Die letzte Zeile im zweiten Lösungsvorschlag enthält einen Schreibfehler. Statt a=b-47=6.901 muss es dort heißen:
a=47-b=6.901

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und dieser schritt Mit b=21/(1-x)  (aus IIa) geht IIIa über in
21*(1-x²)/(1-x)=21*(1+x)=31  und man erhält daraus:
x=10/21