Funktionenschar - Kurvendiskussion durchführen

Question

ha(x)=-1/4 (x³-3cx)

Für welche c∈ℝ \ (0) ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung?

Ich bin ehrlich gesagt ein wenig unschlüssig wie ich hier vorgehen muss. Der Graph ist doch eben für jedes c, außer 0, punktsymmetrisch zum Ursprung, oder nicht?

Nullstellen in Abhängigkeit von c mit Fallunterscheidung ermitteln:

x=0  ∨ x=√3c   ∨ x=-√3c

Welche Fallunterscheidung muss ich hier machen? c=0 wäre ja interessant wegen dreifacher Nullstelle, ist ja aber aus der Def.Menge ausgeschlossen. Vielleicht c<0, woraus nur die eine Nullstelle bei x=0 entsteht, ist das richtig?

Zeigen Sie: Alle Graphen G_gc haben genau einen gemeinsamen Punkt, Berechnen Sie dessen Koordinaten.

Wäre das einfach die einfache Nullstelle bei x=0?

LG

Answer 1

ha(x)=-1/4 (x³-3cx)

Für welche c∈ℝ \ (0) ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung?

Punktsysmmetrie zum Ursprung

f ( x ) = - f ( -x )
f ( x ) = -1 / 4 * ( x^3 - 3 * c * x )
f ( -x ) = -1 / 4 * ( (-x)^3 - 3 * c * (-x ) )
f ( -x ) = -1 / 4 * ( - x^3 + 3 * c * x  )
- f ( -x ) = -1 / 4 * ( - x^3 + 3 * c * x  ) * ( -1 )
- f ( -x ) = -1 / 4 * ( x^3 - 3 * c * x  )  = f ( x )

Hiernach : für alle c

Einmal probeweise c = 3 und c = -3

~plot~ (-1 / 4 ) * ( x^3 - 3 * (3) * x ) ; (-1 / 4) * ( x^3 - 3 * (-3) * x ) ~plot~

Beide Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung

Comments

Erstmal danke!

Kannst du noch kurz meine anderen zwei "Teilfragen" bestätigen oder auch nicht?

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Nullstellen

ha(x)=-1/4 (x³-3cx )

ha ( x ) = ( -1/ 4 ) * x * ( x^2 - 3c )
( -1/ 4 ) * x * ( x^2 - 3c ) = 0
x = 0
und
x^2 - 3c = 0
x^2 = 3c
x = √ ( 3c )
x = -√ ( 3c )

Die Wurzel kann nur aus einem positiven Term oder 0
gezogen werden. Also
c  >= 0

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Zeigen Sie: Alle Graphen G_gc haben genau einen gemeinsamen
Punkt, Berechnen Sie dessen Koordinaten.

-1 / 4 * ( x³ - 3 * c1 * x ) = -1 / 4 * ( x³ - 3 * c2 * x )
x³ - 3 * c1 * x  = x³ - 3 * c2 * x
x * ( x² - 3 * c1 )   = x * ( x² - 3 * c2 )
x = 0
und
x² - 3 * c1    = x² - 3 * c2
- 3 * c1 = - 3 * c2
c1 = c2

Da c1 von c2 verschieden sein soll gibt es keine weitere Lösung.

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Zu den Nullstellen nocheinmal

für c > 0  gibt es 3 Nullstellen
c = 0 gibt es 1 Nullstelle
c < 0 gibt es 1 Nullstelle

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Zeigen Sie: Alle Graphen G_gc haben genau einen gemeinsamen
Punkt, Berechnen Sie dessen Koordinaten.

-1 / 4 * ( x³ - 3 * c1 * x ) = -1 / 4 * ( x³ - 3 * c2 * x )
x³ - 3 * c1 * x  = x³ - 3 * c2 * x
x * ( x² - 3 * c1 )   = x * ( x² - 3 * c2 )
x = 0
und
x² - 3 * c1    = x² - 3 * c2
- 3 * c1 = - 3 * c2
c1 = c2

Da c1 von c2 verschieden sein soll gibt es keine weitere Lösung.

OK! Kann ich das auch analog bei "ähnlichen Aufgabentypen" so machen?

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Zum Beispiel bei dieser Funktion hier (Ich will jetzt keine extra-Frage einstellen, da es wirklich nicht sehr aufwendig ist):

f_t(x)=x³+(t-3)x²-(t-2)x

Ich soll zeigen, dass alle Graphen von t genau zwei gemeinsame Punkte haben.

Ich bin analog wie bei dir vorgegangen:

x³+(t1-3)x²-(t1-2)x=x³+(t2-3)x²-(t2-2)x

x=0   ist damit der erste Punkt!

x²+(t1-3)x-(t1-2)=x²+(t2-3)x²-(t2-2)

(t1-3)x-(t1-2)=(t2-3)x-(t2-2)

Wie kann ich jetzt zeigen, dass noch genau ein gemeinsamer Punkt vorhanden ist?

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Das Repertoire an Vorgehensweisen / dein Handwerkszeug bekommst
du ja durch zunehmende Übung.
Die Ergebnisse von Kurvendiskussionen können natürlich sehr
verschieden sein.

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OK!

Könntest du nochmal kurz diese kleinere Aufgabe zu Ende rechnen? :)

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(t1-3)x-(t1-2)=(t2-3)x-(t2-2)  | ausmultiplizieren
t1 * x - 3 * x - t1 + 2 = t2 * x - 3 * x - t2 + 2
t1 * x - t1  = t2 * x - t2
t1 * ( x -1 ) = t2 * ( x - 1 )
Der Fachmann sieht es :
x -1 = 0
x = 1

Probe
x³+(t1-3)x²-(t1-2)x=x³+(t2-3)x²-(t2-2)x
1 + ( t1 - 3 ) * 1 - ( t1 - 2 ) * 1 = 1 + ( t2

f_t(1)=1 +(t-3)*1-(t-2)*1
f ( 1 ) = 1 + t - 3 - t + 2
f ( 1 ) = 0
Alle Funktion haben den Punkt
( 1  | 0 )

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t1 * ( x -1 ) = t2 * ( x - 1 )
Der Fachmann sieht es :
x -1 = 0
x = 1

Warum setzt du x-1 gleich 0? Weil nur dann eine wahre Aussage entsteht oder gibt es da eine andere Erklärung?

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Das muß später einmal zu deinem Handwerkzeug gehören.
Der Satz vom Nullprodukt.
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
Also
x -1 = 0

Auf der Suche nach weiteren Lösungen könnte man
t1 * ( x -1 ) = t2 * ( x - 1 )
t1 * a = t2 * a
Es gibt dann die Möglichkeit
t1 = t2
Da t1 von t2 verschieden sein soll gibt es keine weitere Lösung mehr.

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Ja, ich bin eigentlich auch nicht schlecht was die "Schulmathematik" angeht.

Hätte ich auch so die Aufgabe angehen können:

Einfach die Nullstellen berechnen und diejenigen, die keinen Parameter enthalten, also t oder a,..., sind dann gemeinsame Punkte?

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Ich kann dir momentan nicht folgen was du meinst.
Wir müssen mit der Aufgabe aber jetzt Schluß machen.

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Ja, hat sich sowieso erledigt!

Falls du Lust und Zeit hast, könntest du dann mal meine Ergebnisse bei folgender Frage nachrechnen?

https://www.mathelounge.de/228280/funktionenschar-kurvendiskussion-flacheninhalt

Ich schreibe nämlich morgen eine Schulaufgabe und bräuchte eine Rückmeldung.