Obere Schranke bestimmen

Question

Zeigen sie , dass 3/2  das Minimum und 2 eine obere Schranke von D = { (1+(1/2n))^n  | n∈N} ist

Das minimum habe ich bestimmt aber bei der oberen schranke habe ich leider probleme ..ich bekomme raus das (1/2n)^n  ( für n gegen unendlich ) gegen 0 strebt und 0+1 = 1 ... Aber die erwarten ja 2.

Mfg

Answer 1

Du meinst bestimmt:

1+ (1/(2n))^n

Also,dass dein n auch unter dem Bruchstrich steht oder nicht?

Falls ja, dann kannst du abschätzen:

1+ (1/(2n))^n

Mit 1/(2n) < 1 gilt:

(1/(2n))^n < 1

und daraus folgt :

1+ (1/(2n))^n < 1 + 1 = 2

Also ist 2 eine obere Schranke.

Answer 2

Das stimmt nicht, es gilt \( \left(  1 + \frac{x}{n} \right)^n \to e^x \)

Jetzt setzte \( x= \frac{1}{2} \) ein, und Du siehst die Folge konvergiert gegen \( \sqrt{e} \le 2 \)