Intervallschachtelung positiver reeller Zahlen. A(a,b) = (a+b)/2 G(a,b)=√ab H(a,b) = (2ab)/a+b mit (0<a<b)

Question

Gegeben ist : A(a,b) = (a+b)/2  G(a,b)=√ab  H(a,b) = (2ab)/a+b mit (0<a<b)

Jetzt sei 0<a<b, a₁ := a, b₁ := b und a_n+1 := H(a_n,b_n), b_n+1 := A(a_n, b_n).

Aufgaben : 1) Zeigen sie H(a,b) < G(a,b) ODER G(a,b) < A(a,b)

Das ODER bedeutet wahrscheinlich, dass ein Punkt von Beiden gilt, aber nicht Beides.

Meine Idee ist, dass G(a,b)< A(a,b) gilt, wenn a und b unterschiedlich sind, ansonsten sind die Funktionswerte gleich. Wenn beide Funktionswerte gleich sind, ist die linke Seite richtig.

2) Für alle n Element aus N gilt : 0<a_n<b_n

Muss ich jetzt nicht beweisen, dass A(a,b) größer ist als H(a,b)??

3) Die In := [an,bn] bilden eine Intervallschachtelung

Comments

Damit man dir bei 2) und 3) behilflich sein kann musst du angeben was die Folgen \(a_n\) und \(b_n\) sind, ich gehe mal stark davon aus, das Ziel der Aufgabe entweder eine Intervallschachtelung für die Quadratwurzel oder eine Intervallschachtelung für das arithmetisch-geometrische Mittel ist.

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wenn du sogar bei 1) beides gezeigt hast folgt 2) unmittelbar.

Für 3): Du musst die 2 Eigenschaften der Intervallschachtelung zeigen.

Insbesondere ist das geometrische Mittel von a und b die Zahl die in allen Intervallen vorliegt.

Gruß

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A(n+1)>A(n) und B(n+1) < B(n)

A(n)<B(n) für alle n

Wie beweise ich das Erste? Insbesondere den Teil von B?

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Fortsetzung und Präzisionen habe ich gesehen bei Intervallschachtelung positiver reeller Zahlen. A(a,b) = (a+b)/2 G(a,b)=√ab H(a,b) = (2ab)/a+b mit (0<a<b)

Answer 1

Zu (1). Nach Voraussetzung gilt \(0<(a-b)^2\).$$\Leftrightarrow0< a^2-2ab+b^2$$$$\Leftrightarrow4ab< a^2+2ab+b^2$$$$\Leftrightarrow4ab<(a+b)^2$$$$\Leftrightarrow2\sqrt{ab}< a+b$$$$\Leftrightarrow\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}$$$$\Leftrightarrow \operatorname H(a,b)< \operatorname G(a,b).$$

Comments

Hallo

kannst du mir vielleicht erklären wie du auf die voraussetzung gekommen bist=??

oder woher die 4ab aufgetaucht ist..

und wie kommst du z.b von 2√ab< a+b auf (2ab)/(a+b) <  √ab

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Von der zweiten Zeile kommt man mittels Addition von \(4ab\) zur dritten.
Von der fünften Zeile kommt man mittels Multiplikation von \(\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\) zur sechsten.

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wie sieht es mit der voraussetzung aus??wie kommt man auf  0 < (a-b)^2 .??Das steht nicht z.b in der Aufgabe..

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In der Aufgabe steht \(a<b\), also ist \(a-b\ne0\). Das Quadrat einer von Null verschiedenen reellen Zahl ist immer positiv.

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Fortsetzung und mehr Info:  Intervallschachtelung positiver reeller Zahlen. A(a,b) = (a+b)/2 G(a,b)=√ab H(a,b) = (2ab)/a+b mit (0<a<b) 

Answer 2

A(a,b) > G(a,b)
(a+b)/2>wurzel(ab)  |² 
(a+b)²/4>ab
a²+2ab+b²>4ab
a²+b²-2ab>0
(a-b)²>0    also für a ungleich b jedensfalls wahr.


G(a,b) < H(a,b)

wurzel(ab)>(2ab)/(a+b)  |² 
ab>(4a²b²)/(a+b)²
(a+b)²>4ab
a²+b²-2ab>0
(a-b)²>0  also für a ungleich b jedensfalls wahr.

Vielleicht heißt das oder auch: eins oder das andere beweisen ?

Comments

So müsste es sein.

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Wie geht die dritte Aufgabe? Müsste ich dazu nicht zeigen, dass a_n monoton steigt und b_n monoton sinkt?