Betragsgleichungen lösen

Question

es geht um folgendes Problem:

Welche reellen Zahlen x erfüllen folgende Gleichung:

|x²-3x+6| = |x-3|

da x^2 -3x +6 keine reellen Nullstellen hat, kann ich ja für den Absolutbetrag von x^2 -3x+6 ausgehen.

Ich komme insgesamt nur auf komplexe Lösungen, also die leere Menge für diese Aufgabe. Ist das so richtig, oder habe ich mich irgendwo vertan?

Answer 1

Du machst eine Fallunterscheidung:

x>=3:

x-3 = x^2-3x+6

0 = x^2-4x+9

x<3 :

3-x = x^2-3x+6

0 = x^2-2x+3

Ich bekomme auch für beide Fälle nur komplexe Lösungen raus. Dann wirst du wohl richtig gerechnet haben.

Answer 2

\(|x^2-3x+6| = |x-3|  |^{2}\)

\((x^2-3x+6)^2 = (x-3)^{2}\)

\((x^2-3x+6)^2 - (x-3)^{2}=0\)

\([(x^2-3x+6) + (x-3)]*[(x^2-3x+6) - (x-3)]=0\)

\([x^2-2x+3]*[x^2-4x+9]=0\)

1.)

\(x^2-2x+3=0\)

\((x-1)^2=-3+1=-2\)→Lösungen ∈ ℂ

2.)

\(x^2-4x+9=0\)

\((x-2)^2=-9+4=-5\)→Lösungen ∈ ℂ