Herleitung der Ableitung des logistischen Wachstums (Differentialgleichung)

Question

Hey

ich könnte mir jemand helfen wie ich durch ableiten des Terms für das logistische Wachstum auf:

f'(t) = k • f(t) • (S-f(t))  also diese Differentialgleichung komme.

Ist echt komme einfach nicht weiter bzw. nicht auf das geforderte...

Liebe liebe Grüße :***

Comments

Meinst du das hier: https://www.mathelounge.de/167426/herleitung-der-formel-fur-das-logistische-wachstum

?

Answer 1

Hi, welchen Term willst Du denn ableiten?

Comments

$$ f(x)= \frac{100}{1+19e^{-0,2x} } $$

ich weiß nicht wie ich diesen term ableite...

im intermet steht nach der Quotienten und Kettenregel aber ich sehe hier nur die kettenregel, da nur der nenner ein x enthält und die Ableitung von 100 eh null wäre

kann mir jemand helfen und zeigen wie ich den term nun ableiten muss

und wie kommt man von:

auf:

$$ f'(t) = k \cdot f(t) \cdot (G - f(t)) $$

das muss doch durch einfaches ableiten möglich sein ...

Gruß

---

Hi,
$$ f'(t) = G(-1)\left( 1 + e^{-kGt}\left( \frac{G}{f(0)}-1 \right) \right)^{-2} e^{-kGt} \left( \frac{G}{f(0)}-1 \right) (-kG) $$
Da
$$ G - f(t) = G - \frac{G}{ 1 + e^{-kGt} \left( \frac{G}{f(0)}-1 \right)} = \frac{G e^{-kGt} \left( \frac{G}{f(0)}-1 \right)} {1 + e^{-kGt}\left( \frac{G}{f(0)}-1 \right)} $$ folgt die Behauptung
$$ f'(t) = k f(t) (G - f(t) ) $$

Außerdem kann man ablesen das gilt \( G = 100 \), \(f(0) = 5 \) und \( k= 0.002 \)