Zeigen Sie: (a_{n})_{n ∈ ℕ} ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn …

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie: \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn

\( \forall \varepsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \geq N:\left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon \)

(b) Zeigen Sie: Ist \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Cauchy-Folge, so ist \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) beschränkt.

Hinweis: Verwenden Sie Teil (a)

(c) Zeigen Sie: Sind \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Cauchy-Folgen, so ist die Produktfolge \( \left(a_{n} b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Cauchy-Folge.

Hinweis: Verwenden Sie Teil (b)

Definition 1.16 Eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) heift Cauchy-Folge, wenn füs jedes \( E>0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \) existiert, so dass für alle \( n \geq N, m \geq N \) gilt

\( \left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon \)

Answer 1

Die übliche Definition für eine Cauchyfolge in einem metrischen Raum ist $$ \forall\varepsilon>0\exists N\in\mathbb{N}: d(x_n,x_m)<\varepsilon ~\forall m,n\ge N.$$
Hier ist natürlich$$ d(x_n,x_m)=|x_n-x_m|$$.
Du sollst also zeigen:
$$(a_n) \text{ ist CF } \Leftrightarrow \forall\varepsilon>0\exists N: |x_n-x_N|<\varepsilon~\forall n \ge N$$ ist. Die "=>"-Richtung ist denke ist klar, oder? Wenn das für alle m >= N gilt, dann natürlich auch für N. Andersrum kannst du eien kleinen Trick anwenden und $$a_N-a_N$$ im Betrag zu $$|a_n-a_m|<\varepsilon$$ addieren. Dann musst du nur noch die Dreiecksungleichung anwenden.

Mfg Ferragus

Comments

Zum zweiten: die Folge ist beschränkt, falls es ein M > 0 gibt, sodass für alle n
$$ |a_n| < M $$
ist. Mit Blick auf die erste Aufgabe siehst du, dass du eine beliebige positive Zahl wählen kannst, wonach
$$|a_n| < M + |a_N|$$
für ein gewisses $$N\in\mathbb{N}$$ und $$n>N$$ gilt. Nun kann es natürlich ein $$k<N$$ geben, für welches $$a_k > M + |a_N|$$ ist. Das macht aber nichts, es gibt trotzdem eine obere Schranke. (Warum?)

Mfg Ferragus

PS: Schau dir das hier erstmal an. Falls du dann eine Frage zur 3. hast, nur zu.

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für was steht bei der (b)

denn das M? Und warum gibt es trotzdem eine obere Schranke?

zu (a)

Kannst du mir die => Richtung mal aufschreiben? Komme damit leider nicht so klar

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Also wenn du ein $$\varepsilon > 0$$ und eine positive Zahl N, sodass $$|a_n-a_m| < \varepsilon~\forall n,m\ge N$$ ist, dann gilt natürlich auch $$|a_n-a_N|<\varepsilon$$ für alle $$n \ge N,$$ weil $$N \ge N$$ ist.
Das M in der b) ist eine positive Zahl. Die Folge ist beschränkt, wenn sie vom Betrag her nicht größer als eine bestimmte Zahl wird, die habe ich mit M bezeichnet. Z.B. ist
$$ |1-\frac{1}{n}| < 5$$ Für alle n. Die fünf ist willkürlich, genausogut hätte ich 1 oder 10 schreiben können. (Für 1/2 würde die Ungleichung natürlich nicht für alle n bestehen.)
Jetzt zu $$|a_n| < M+|a_N|.$$
Damit weißt du, dass die Folge beschränkt ist, wenn du sie bei N beginnen ließest. Die Menge $$\{a_1,a_2,...,a_N\}$$ ist aber endlich und besitzt somit ein größtes Element. Dessen Betrag kannst du z.B. einfach zu obiger Ungleichung dazuaddieren.