Masse über Integral und Dichte

Question

folgendes Problem:

Aufgabe 

Gegeben ist eine Ladungsdichte \( \rho(x, y) \) auf einem Ladungsträger \( B . \) Berechnen Sie die Gesamtladung.

a) \( B \) liegt im ersten Quadranten und wird von den Kurven \( y=x^{2} \) und \( y=2 x \)
$$ \text { begrenzt, und } \rho(x, y)=x y^{2} $$

Das ganze entspricht ja quasi einer Massenberechnung.

Also mein Ansatz war so, dass ich erst die Fläche berechnet hab (16/3?) und diese müsste ich dann über die Funktion x*y^2 integrieren, oder?

Aber wie lauten denn dann meine Grenzen, die ich da benutzen muss?

Answer 1

∫ (x^2 bis 2x) (x·y^2) dy = x^4·(8 - x^3)/3

∫ (0 bis 2) (x^4·(8 - x^3)/3) dx = 32/5 = 6.4

Comments

Ist in der Aufgabe einfach als ich gedacht hab.

Wie siehts denn hier aus:

Vorhergensweise müsste ja die Selbe sein, nur dass ich noch ein drittes Integral hab, oder?

Mein Problem liegt hier allerdings wieder in den Grenzen. Wie genau bekomm ich dei denn raus? Einfach die Ungleichungen auflösen?

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Ja

x^2 + z^2 ≤ 1

- √(1 - x^2) ≤ z ≤ √(1 - x^2)

Dann hast du die Grenzen für z und kannst schon das Integral für z lösen.

Achso es soll ja gelten z >= 0. Damit hast du dann

0 ≤ z ≤ √(1 - x^2)

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Wenn ich die Grenzen einsetz kommt doch Null raus, oder?

Edit: Geklärt.

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Also gut, hab jetzt das selbe für y gemacht, sodass ich jetzt eine Gleichung hab die lautet:

(x-x^3)*(1-x^2)

müsste also nurnoch nach x integrieren, aber wie lauten denn jetzt da die Grenzen? Als Ergebnis wird übrigens 1/24 angegeben.

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Die Grenzen für x sind: 0 <= x <= 1

∫(x·y·z, z, 0, √(1 - x^2)) = x·y/2 - x^3·y/2

∫((x·y/2 - x^3·y/2), y, 0, √(1 - x^2)) = x^5/4 - x^3/2 + x/4

∫((x^5/4 - x^3/2 + x/4), x, 0, 1) = 1/24

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Puh, habs jetzt endlich raus.