Zeigen, dass es eine Parabel ist. f(x,y)=x^2+2xy+y^2+2*(x+y)+2x+1=0

Question

Wie kann ich zeigen, dass

f(x,y)=x^2+2xy+y^2+2*(x+y)+2x+1=0 eine Parabel ist?

Comments

Die Behauptung stimmt schon mal.
Vgl. WA. https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2B2xy%2By%5E2%2B2*%28x%2By%29%2B2x%2B1%3D0


Die Menge der Punkte P(x,y), für die gilt x²+2xy+y²+2*(x+y)+2x+1=0 , liegen auf einer Parabel.  Wie genau habt ihr "Parabel" definiert?
Kannst du mit einer der alternate forms von Wolframalpha etwas anfangen? 

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Kann das sein, dass man dafür eine Hauptachsentransformation machen muss?

https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation

Ich habe das aber noch nicht gemacht.

x^2 + 2·x·y + y^2 + 4·x + 2·y + 1 = 0

[x, y]·[1, 1; 1, 1]·[x; y] + [4, 2]·[x; y] + 1 = 0

Eigenwerte: k = 0 und k = 2

Eigenvektoren: 1/√2·[1; -1] und 1/√2·[1, 1]

Diagonalmatrix: D = [2, 0; 0, 0]

Transformationsmatrix: T =  1/√2·[1, 1; 1, -1]

[x, y]·[2, 0; 0, 0]·[x; y] + [4, 2]·1/√2·[1, 1; 1, -1]·[x; y] + 1 = 0

Ausmultiplizieren

2·x^2 + 3·√2·x + √2·y + 1 = 0

y = - √2·x^2 - 3·x - √2/2

Jetzt sieht man leichter das es eine Parabel ist.

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Bravo Mathecoach!

Ich hatte in der Nacht noch kurz bei Wikipedia geschaut, aber angesichts der Uhrzeit sofort aufgegeben.

Answer 1

$$ f(x,y)=x^2+2xy+y^2+2*(x+y)+2x+1=0 $$
gibs ja mal gaaanich !!!
Entweder
$$ f(x,y)=x^2+2xy+y^2+2*(x+y)+2x+1 $$
Das ist dann eine Funktion , die aus R^2 ---> R^1 abbildet und als dreidimensionale Oberfläche ( nicht Ebene!) dargestellt werden kann - OOOder
$$x^2+2xy+y^2+2*(x+y)+2x+1=0 $$
welches eine implizite Funktion im R^2 darstellt, also einen Kurvenzug bzw. Graphen auf einem zweidimensionalen Papierblatt zur Darstellung ermöglicht.