Banachscher Fixpunktsatz, Iterationsverfahren angeben

Question

Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass die Gleichung x^6 - 3x +1 =0 in den Intervallen I₁ = [0,2/3] und I₂ =[1, ∞] jeweils genau eine Lösung ξ₁ bzw. ξ₂ hat. Geben Sie jeweils ein Iterationsverfahren der Form x_n+1 = f(x_n), n∈ℕ, x1= a und geeignete Startwerte a zur Bestimmung von ξ₁ und ξ₂ an.

Nach wie viel iterationen beträgt der Abstand Ix_n- ξ₂I zur zweiten Lösung mit Sicherheit nur noch maximal 1/1000 des ursprünglichen Abstandes Ia-ξ₂I ?

Answer 1

Sei \(f(x)=x^6 - 3x + 1\). Du suchst eine Lösung der Gleichung \(f(x)=0\). Der Banachsche Fixpunktsatz ist, wie der Name schon verrät, zur Lösung von Fixpunktproblemen geeignet. Also musst du dein Problem in ein Fixpunktproblem überführen. Addiere einfach mal auf beiden Seiten \(x\). Dann erhältst du aus der Bedingung \(f(x)=0\) die Bedingung \(f(x)+x=x\), d.h. du musst einen Fixpunkt von \(g(x):=f(x)+x\) finden.

Sollte das weitere Vorgehen unklar sein, frag einfach noch mal nach :)

Comments

Ich habe diese Aufgabe auch zu bearbeiten, leider ist mir das Weitere vorgehen nicht ganz klar. Ich müsste doch irgendwie bezug auf die angegebenen Intervalle nehemen oder?

Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet ?

 Lg

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Du musst zeigen, dass auf den gegebenen Intervallen die Funktion \(g\) eine Kontraktion ist, d.h. dass für alle \(x,y\in I: |g(x)-g(y)| \leqslant \lambda |x-y|\) für ein \(\lambda < 1\). Dies liefert dir die Existenz eines Fixpunktes (bzw. einer Nullstelle von \(f\)).

Tipp dazu: \(g\) ist differenzierbar und nach dem MIttelwertsatz gibt es für alle \(x,y\in I\) ein \(\xi \in (x,y)\), sodass \(|g(x)-g(y)| = |g'(\xi)| |x-y|\). Daher reicht es zu zeigen, dass der Betrag der Ableitung \(g'\) auf den Intervallen jeweils durch eine Konstante \(\lambda \in [0,1)\) beschränkt ist.

Danach musst du den letzten Teil der Aufgabe mit den Abschätzungen zum Banachschen Fixpunktsatz machen.

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Ich werde mal versuchen dies zu zeigen.

LG