Betragsungleichungen, Teilmengen {x ∈|R / -8x<|x^2 -9|}

Question

Bestimmen Sie folgende Teilmengen von |R:

{x ∈|R / -8x<|x^2 -9|}

Ich komme hier nicht weiter.

Answer 1

-8 x < | x² -9 |

1.Fall
x^2 - 9 > 0  => x^2 > 9 => ( x > 3 ) oder ( x < -3 )
dafür gilt
-8 x < x² -9
x^2 + 8 * x > 9  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
x^2 + 8 * x + 4^2 > 9 + 16
( x + 4 ) ^2 > 25
x + 4 > 5
oder
x + 4 < -5

x > 1
oder
x < -9

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x > 3 ) oder ( x < -3 )
ergibt sich
x > 3
oder
x < -9

-8 x < x² -9
x^2 + 8 * x - 9 > 0

~plot~ x^2 + 8 * x - 9 ~plot~

Comments

Ich gehe jetzt erst einmal Mittagessen.
Der 2.Fall steht noch aus.

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2.Fall
x² - 9 < 0  => x² < 9 => - 3 < x < 3
dafür gilt
-8 x < (-1 ) * (x² -9 )
-8 x < -x² + 9
x² - 8 * x < 9  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
x² + 8 * x + 4² < 9 + 16
( x - 4 ) ² < 25
-5 < x - 4 < 5
oder
-1  < x < 9

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
- 3 < x < 3
ergibt sich
-1 < x < 3

1. und 2.Fall zusammen
x < -9  und  x > -1

Hier das Schaubild für alle Fälle
-8 * x < | x² -9 |
0 < | x² -9 |+ 8 * x

Alles was oberhalb der x-Achse ist, ist die Lösungsmenge

~plot~ abs (x² -9)+ 8 * x ; [[ -10 | 6 | -25 | 60 ]] ~plot~

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Perfekt, das habe ich auch so ungefähr gemacht.

Im 1sten Fall habe ich auch x1=1 und x2=-9. Ich verstehe nicht ganz was Sie hier gemacht haben: "Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x > 3 ) oder ( x < -3 )
ergibt sich
x > 3
oder
x < -9

-8 x < x² -9
x² + 8 * x - 9 > 0"

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Der 1.Fall gilt für einen positiven Wert in den Betragszeichen
x² - 9 > 0  => x² > 9 => ( x > 3 ) oder ( x < -3 )
und hat als Ergebnis
x > 1
oder
x < -9
Jetzt kommt noch die Skizze des Zahlenstrahls.

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Die 1.Skizze zeigt die Zahlenbereiche



Die 2.Skizze zeigt die Schnittmenge

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x > 3 ) oder ( x < -3 )
ergibt sich
x > 3
oder
x < -9