Integral über 1/(1+x), Zeige Gleichheit mit dieser Summe

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

\( \int \limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+x} d x=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2 k+1} \frac{1}{4^{k}} \)

Ansatz/Problem:

Das Integral ist ln(3), mein Ansatz war nun, über die Definition des ln zu gehen und dann die geometrische Reihe zu benutzen. Doch weiter komme ich nicht, kennt jemand einen Hinweis zur weiteren Vorgehensweise?

Comments

Vorsicht: Vermutlich schicke ich dich jetzt in den Wald:

Kann man die rechte Seite irgendwie in eine Unter- oder Obersumme des Integral überführen?

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Geometrische Reihe ist mit Sicherheit einfacher.

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Wie meinst du das genau?

1/4^k = 1/2^{2k}

1/(2k+1) * (1/2)^{2k} sieht irgendwie aus wie die das Integral einer Potenzfunktion.

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Integrandenfunktion in geometrische Reihe umschreiben.
Nachweis, dass Integration und Summation vertauscht werden können, Ausführung.
Auswerten der Integrale (Potenzfunktion).
Zusammenfassen der Summanden (jeder zweite ist von der Form a-a, jeder zweite ist von der Form a+a).
Umnummerieren der verbleibenden Summanden ergibt die angegebene Reihe.

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Der Integrand ist die geometrische Reihe:

1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5  etc.  jedenfalls für |x| < 1 und das ist ja hier erfüllt

Dann mit dem Tipp von gast hj212 vorgehen.

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Werde ich mal versuchen, danke!

Answer 1

Wie lässt sich die Integrandenfunktion denn in geometrische Reihe umschreiben?

Die Potenzreihe x^n wird doch zu 1/(1-x) für |x| < 1, wobei wir hier die Funktion 1/(1+x) betrachten.

Comments

∫_-0.5^0.5 1/(1-x) dx

= ∫_-0.5^0.5 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6 - ..... dx          |Summandenweise integrieren (nachdem bewiesen ist, dass man das darf)

=  x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3 - 1/4 x^4 + 1/5 x^5 -  .....  |-1/2^1/2

= (1/2 - (-1/2)) - 1/2 ( 1/2^2 - 1/2^2) + 1/3 ((1/2)^3 - (-1/2)^3) - 1/4 ( ......) + ....

= 1 - 0 + 1/3 (2*(1/2)^3) -0 + 1/5 (2*(1/2)^5) - 0 + ....

=  1 - 0 + 1/3 ((1/2)^2) -0 + 1/5 ((1/2)^4) - 0 + 1/7 (1/2)^6 +1/9 (1/2)^8 

= Σ_(k=0)^{∞} 1/(2k+1) * (1/2)^{2k} 

= Σ_(k=0)^{∞} 1/(2k+1) * (1/4)^{k}