f ≥ g, Integrale identisch → f=g

Question

Voraussetzung: \( f, g_{b}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, \( f \geqq g \)

Behauptung: \( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x=\int \limits_{a}^{b} g(x) d x → f=g \)

Beweis:

\( \bar{I}(f)=I(f)=\int \limits_{a}^{b} f(x) d x=\int \limits_{a}^{b}(x) d x=I(g)=\bar{I}(g) \\ f \geq g \\ \bar{I}(f) \geqslant I(g) \\ I(f) \geqslant I(g) \)

Zusammen: \( \quad f=g \)

Die erste Zeile des Beweises folgt natürlich aus dem Satz, dass stetige Funktionen Riemann-integrierbar sind.

Sind meine Überlegungen korrekt? Und wenn nein, wie macht man es besser?

Answer 1

Ich würde es so machen:
mit f und g ist auch f - g stetig und   f - g ≥ 0
gleiche Integrale, heißt Differenz der Integral = 0 und
wegen Linearität des Integrals auch
Integral von a bis b über f - g dx  = 0
Wenn das Integral über eine nirgends negative stetige Funktion = 0 ist,
dann ist die Funktion  die Nullfunktion
also f - g = 0
also f=g.