Extremwertaufgabe: Max. Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen

Question

Aus einem fünfeckigen Brett soll ein rechteckiges Stück herausgesägt werden (s. Skizze). Dabei soll der Punkt P auf der Strecke [CD] liegen.

Ich soll den größtmöglichen Flächeninhalt des grauen Rechtecks berechnen.

Ich komme auf die Zielfunktion:

A(a)=-0,5a²+a+40    A=40,5

Dann soll ich noch den Abfall in Prozent berechnen, also der größtmögliche FI minus der Gesamtfläche.

Ich komme auf 28 Prozent.

Bitte mal nachrechnen!

LG

Comments

Hallo, könntest du mir sagen von welchem Buch du die Aufgabe hast? Beste Grüße

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Hallo Healla,

die Frage ist von 2015. Das Mitglied Simon hat
die letzten Jahre nichts mehr von sich hören
lassen. Ich denke du auch keine Antwort
mehr erhalten.

Die Lösung ist ja bekannt.
Du könntest dir die Skizze selbst anfertigen
Bei Fragen kannst du dich auch an mich
wenden.

mfg Georg

Answer 1

D ( 6  | 6 )
C ( 10  | 4 )
m = ( 4 - 6 ) / ( 10 - 6 )
m = -0.5
6 = -0.5 * 6 + b
b = 9

f ( x ) = -0.5 * x + 9

Rechteck
A ( x ) = x * f ( x ) = x * ( -0.5 * x + 9 )
A ( x ) = -0.5 * x^2 + 9 * x
A ´ ( x ) = - x + 9
Extremwert
- x + 9 = 0
x = 9
a = 1

A ( 9 ) = -0.5 * 9^2 + 9 * 9
A ( 9 ) = 40.5

Platte 10 * 6 = 60

60 / 40.5 = 100 / x
x = 67.5 %

Ich komme auf 32.5 % Abfall.

Comments

Vielen Dank erstmal!

Wieso berechnest du bei der Gesamtfläche 10*6?

Hätten wir dann nicht das Dreieck am oberen rechten Eck zu viel?

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Dein Einwand ist richtig.
Die ausgeschnittene Ecke hatte ich übersehen.

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Ich habe nochmal eine kleine Frage, weil ich gerade eine ähnliche Aufgabe rechnen.

Wenn ich wieder so ein Rechteck habe, aber diesmal ist zwischen dem Rechteck und der x-Achse eine LE dazwischen. Dann muss ich doch, wenn ich den y-Wert für die Breite des Rechtecks bestimmen will, die 1 LE abziehen, oder?

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Icvh kann mir so recht nicht vorstellen was du meinst .
Was ist eine LE ?
Und wo zwischen ist die ?
Mal einmal ein Bild.

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Gleiche Aufgabenstellung.

Ich möchte nur wissen ob mein Gedankengang stimmt.

Für die Rechtecksbreite wieder den Funktionswert, hier an der Stelle a, einsetzen, aber 1 abziehen. Richtig?

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Mathematisch ausgedrückt

Rechteckfläche A ( x ) = x * f ( x )

mit 1 LE Einheit Abstand zur x-Achse

Rechteckfläche A ( x ) =  x * [ f ( x ) - 1 )

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Damit hast du meine Theorie bestätigt.

Answer 2

Hier erst mal die Funktionsgleichung der schrägen Geraden.

~plot~-1/2 * x + 9; {6|6} ; [[15]]; x=10; 6~plot~

Bei F_{gesamt} habe ich 10*6 - 2*4/2 = 56

Jetzt habe ich für die Fläche des Rechtecks

F_{R} (a) = (10 -a) * (-0.5 (10-a) + 9)

und suche dafür ein Maximum.

Ich komme auf F_(Rmax) = 81/2 bei a = 1.

(56 - 40.5) / 56 ≈ 27.7 %