Kugeln aus Schachtel ziehen

Question

In einer Schachtel sind 16 rote, 8 weiße und 6 schwarze Kiugeln. 6 Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 rote Kugeln darunter sind?

b) höchstens 3 weiße Kugeln darunter sind?

zu a):

Berechnen das 3 rote von 6 gezogen werden + das 4 rote gezogen werden + das 5 gezogen werden + das 6 gezogen werden

Berechnung von 3 roten Kugeln:

(16/30)*(15/29)*(14/28)*(14/27)*(13/26)*(12/25)=0.01716..

das Ergebnis multipliziert mit 6!/(1!*2!)= 360, da die Ziehung in beliebiger Reihe erfolgt.

0,01716*360= 6,179..

Das Ergebnis ist viel zu hoch,

Answer 1

Hi,

dein Fehler liegt darin, dass es nicht 6! verschiedene Ziehungen mit 3 roten Kugeln gibt, dies wäre nur der Fall, wenn man die Kugeln untereinander auch noch unterscheiden könnte (zum Beispiel wenn alle Kugeln Zahlen hätten). Die Anzahl der Möglichkeiten 3 rote Kugeln auf 6 Ziehungen zu verteilen berechnest du mit

$$ \binom{6}{3} = 20 $$

Diese Anzahl multiplizierst du dann mit der vorher berechneten Wahrscheinlichkeit.

Analog gehst du für die anderen Fälle vor.

Übrigens geht das Berechnen einfacher wenn du an die hypergeometrische Verteilung denkst. Es gibt 16 rote und 14 nicht rote Kugeln. Insgesamt werden 6 Kugeln gezogen. Die Wahrscheinlichkeit das bspw. 3 davon rot sind wäre dann (die 3 anderen Kugeln sind nicht rot):

$$\large  P(\text{"3 rote Kugeln"}) = \frac{\binom{16}{3} \cdot \binom{14}{3}}{\binom{30}{6} } $$

Gruß

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe!

LG