Zeigen Sie die folgende Variante der Bernoullischen Ungleichung: Für 0 ≤ x ≤ 1 und n ∈ N0 gilt …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die folgende Variante der Bernoullischen Ungleichung:

Für \( 0 \leq x \leq 1 \) und \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt

\( (1-x)^{n} \leq \frac{1}{1+n x} \)

Answer 1

für \( x \in [0,1] \) und \( n \in \mathbb{N}_0 \) gilt:

$$ (1-x)^n \leq \frac{1}{(1+x)^n} \leq \frac{1}{1+nx} $$

Gruß

Answer 2

Hi, das beweist man am besten durch Induktion. Der Induktionsanfang ist klar, da gilt
$$ (1) \quad (1-x)^0 = 1 \le \frac{1}{1+0 \cdot x} = 1  $$
Nun ist zu beweisen, das gilt
$$ (2) \quad (1-x)^{n+1} \le \frac{1}{1+(n+1)x} $$
Es gilt wegen der Induktionsvoraussetzung
$$  (3) \quad (1-x)^{n+1} \le \frac{1}{1+nx}(1-x) $$
Die rechte Seite von (3) muss nun kleiner als \( \frac{1}{1+(n+1)x} \) sein, dann ist der Beweis erbracht.
Das ist aber äquivalent zu
$$ (4) \left[ 1 + (n+1)x \right] (1-x) \le 1 +nx  $$
Die Ungleichung (4) gilt was man durch ausmultiplizieren nachrechnen kann und wegen \( 1 + nx \ge 0 \) Damit ist der Bweis fertig.