Konvergenz von Reihen, Majorantenkriterium

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe
\( S_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \)

Hinweis: Verwenden Sie das Majorantenkriterium. Aufgabe 3 (b) vom zweiten Übungsblatt könnte helfen.

(b) Sei \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine monoton fallende, positive, reelle Nullfolge. Zeigen Sie, dass die alternierende Reihe

\( S_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{k} a_{k} \)

konvergiert. Gehen Sie dazu in folgenden Schritten vor:

(i) Zeigen Sie zunächst, dass die Teilfolge \( \left(S_{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton fallt und dass die Teilfolge \( \left(S_{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) monoton wächst. Zeigen Sie zudem, dass beide Folgen beschränkt sind.

Folgern Sie, dass \( \left(S_{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gegen ein \( L \in \mathbb{R} \) und dass \( \left(S_{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gegen ein \( P \in \mathbb{R} \) konvergiert.

(ii) Zeigen Sie, dass \( L=P \) gilt.

Hinweis: Verwenden Sie, dass \( S_{2 n+1}=S_{2 n}-a_{2 n+1} \) gilt.

Folgern Sie daraus, dass die alternierende harmonische Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k} \) konvergiert.

Answer 1

Hi, es gilt \( \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n(n-1)} \) Weiter gilt
$$ \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(n+1)n} = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)  = 1 $$
Hier der Hinweis auf Teleskopsummen.
Damit ist eine konvergente Majorante für \( \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2} \) gefunden.