Kompakte Teilmengen eines metrischen Raums (M,d) mit d(x,y) ={ 0 falls x=y , 1 falls x≠y }

Question

Untersuchen sie welche Teilmengen eines metrischen Raums (M,d) mit diskreter Metrik kompakt sind.

Mit d(x,y) =  {  0 falls  x=y  ,

.                                                          1 falls x≠y }

Comments

Ich würde annehmen als Erstes mal die einelementigen Mengen des Raumes.

Aber dann vielleicht auch jede beliebige Zeilmenge des Raumes.

Wie genau ist denn kompakt in metrischen Räumen definiert?

Answer 1

Eine Teimenge von \(M\) heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
(dabei wird die Topologie von der Metrik induziert).
Überlege dir also erstmal, welche Teilmengen von \(M\) offen sind.