Parametrische Kurve mit e

Question

ich habe folgende Aufgabe:

K(t)= (x(t), y(t) = (e^-t²+t , e^{-t^4+3t²-2} )  für t ∈ ]-∞, ∞[

Ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe den Anfangspunkt, Endpunkt, Schnittpunkte und die Tangenten berechnen soll.

Kann mir einer weiterhelfen???

Vielen Dank für eure Unterstützung!

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K(t) = [e^{- t^2 + t}, e^{- t^4 + 3·t^2 - 2}]

Anfangspunkt

lim (t → -∞) K(t) = [e^{- (-∞)^2 + (-∞)}, e^{- (-∞)^4 + 3·(-∞)^2 - 2}] = [0, 0]

Endpunkt

lim (t → ∞) K(t) = [e^{- (∞)^2 + (∞)}, e^{- (∞)^4 + 3·(∞)^2 - 2}] = [0, 0]

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Okay, danke.

Kannst du mir auch bei den Schnittpunkten mit den Achsen weiterhelfen?

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Für die Schnittpunkte mit den Achsen müsste x oder y jeweils Null werden. Da die e-Funktion nie 0 wird kann es keinen Schnittpunkt geben. Die Punkte des Graphen befinden sich alle im ersten Quadranten.

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Stimmt, jetzt wo du es sagst...

Die waagerechten und senkrechten Tangenten muss ich aber auch noch bestimmen. Abgeleitet habe ich die Kurvenfkt schon, nur dann komme ich nicht weiter. Hast du einen Lösungsweg für mich?

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Ich würde eher sagen die Kurve hat weder Anfangs- noch Endpunkt....

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Meinst du nicht selbst wenn Anfangs und Endpunkt selber nicht existieren könnten Grenzwerte dieser Punkte angegeben werden?

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Nein, dann würde man ja auf die Idee kommen, dass die Kurve geschlossen ist, insbesondere dass sie sich zu Beginn und zum Ende schneidet, was sie ja nicht tut. Soweit ich weiß sind Anfang und Ende einer parametrisierten Kurve nur für geschlossene Intervalle definiert, falls jemand mehr weiß gerne berichtigen.

Answer 1

Die waagerechten und senkrechten Tangenten muss ich aber auch noch bestimmen. Abgeleitet habe ich die Kurvenfkt schon, nur dann komme ich nicht weiter. 

Wie lautet denn Deine Ableitung der Kurve ?

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Hier noch eine Lösungsmöglichkeit, die zukünftig lästiges Warten auf eine Antwort im Forum zuverlässig vermeidet:

{e^{-t^2+t}, e^{-t^4+3 t^2-2}}

bei

https://www.wolframalpha.com/

eingeben.

Answer 2

Ok. Wegen Kurvenanfang und Ende solltest du nochmal deinen Prof fragen oder im Skript nachlesen.

Die Erläuterung von Yakyu klingt plausibel weswegen wir erstmal davon ausgehen sollten die Kurve hat kein Anfangs- und Endpunkt.

K(t) = [e^{- t^2 + t}, e^{- t^4 + 3·t^2 - 2}]

K'(t) = [e^{t - t^2}·(1 - 2·t), 2·e^{- t^4 + 3·t^2 - 2}·t·(3 - 2·t^2)]

Kx'(t) = 0 --> (1 - 2·t) = 0 --> t = 0.5

Ky'(t) = 0 --> t·(3 - 2·t^2) = 0 --> t = - √6/2 ∨ t = √6/2 ∨ t = 0

Das sieht dann so aus

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warum verrätst Du denn immer die Lösung, bevor der Fragesteller selbst aktiv werden konnte ?

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Ich persönlich übe immer an Aufgaben zu denen ich die Lösung habe. Ganz einfach weil ich mich dann am Ende selbst kontrollieren kann.

Für den Fragesteller bringt es nichts, wenn er in zwei Stunden hier seine Ableitung rein schreibt und du ihm dann morgen erzählst das sie verkehrt ist, weil er die Kettenregel nicht richtig beachtet hat. Und dann macht er das neu und hat dann vielleicht die richtige Ableitung und weiß dann trotzdem nicht weiter. Immerhin hat er gesagt er hat die Ableitung.

In einem Dialog bin ich auch eher dafür das man nur Hilfestellung zur eigenen Lösung gibt. Das ist aber in einem Forum sehr schwer möglich. Du merkst ja das die Leute die die Frage gestellt haben nicht zur Kommunikation online bleiben und Nachfragen nicht beantworten. Meist stellen sie eine Frage und hoffen das irgendwann später eine Hilfe da ist.

Weiterhin ist es für einen Antwortenden wesentlich Zeitaufwendiger nur die Hilfe portionsweise zu geben. Wenn ich die Gleichung eh erstmal mit cut und Paste in den Rechner übernommen habe, kann ich auch gleich auf Solve klicken und das Ergebnis hinschreiben.