Stelle eine Gleichung für eine Funktion auf, deren Graph im Punkt den Scheitelpunkt hat und durch den Punkt verläuft.

Question

Aufgabe:

a) Stelle eine Funktionsgleichung für eine Funktion auf, deren Graph im Punkt SP (4 | 3) den Scheitelpunkt hat und durch den Punkt P(5 | 1,75) verläuft.

b) Stelle eine Funktionsgleichung für eine Funktion auf, deren Graph im Punkt SP(0 | -1) den Scheitelpunkt hat und durch den Punkt P(1 | 4) verläuft.

c) Kontrolliere deine Ergebnisse mit einem graphikfähigem Taschenrechner

Ansatz/Problem:

Das ist so pure Theorie. Ich möchte nicht mit dem Klassiker kommen, "wofür brauche ich das?", aber im Ernst, kann mir jemand erklären, wann man das im Alltag braucht.

Answer 1

Zum Beispiel für Optimierungsaufgaben ....

Strebst Du eher eine Berufsausbildung als Handwerker, Bäcker oder Verkäufer an, so wirst Du das wohl eher nicht mehr brauchen.

Strebst Du ein (Fach-)Abitur oder den Abschluss als Ingenieur an, dann wirst Du es brauchen ...

LG B.

Comments

Einen Daumen dafür nach so langer Zeit, weil diese Antwort zumindest ansatzweise auf die Frage des FS eingeht, während alle anderen Antworten das gekonnt ignorieren!

Answer 2

zu a)

SP (d | e) => SP (4 | 3); P (5 | 1,75)

 Gegeben sind ein Punkt und der Scheitelpunkt der Parabel. Als allgemeiner Ansatz wird also die Scheitelpunktform gewählt.

Allgemeiner Ansatz: f (x) = a (x – d)² + e

SP (4 | 3) in f (x) einsetzen:

f (x) = a (x – 4)² + 3

 Um den Streckfaktor a zu bestimmen, wird der Punkt P (5 | 1,75) in die Gleichung eingesetzt:

1,75 = a (5 – 4)² + 3 | Vereinfachen
1,75 = a · 1² + 3 | Vereinfachen
1,75 = a + 4 | –4
–2,25 =  a
a = – 9/4

Die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f ist also
 f (x) = – 9/4(x – 4)² + 3.

Ich hoffe ich habe mich zu so später Stunde nicht verrechnet... b) geht analog

Comments

Um Gotts Willen (tut mir leid, dass ich so drastisch werden muss). Aber die Antwort ist leider krass falsch.

a*1^2+3 ist mit nichten a+4 sondern a+3, also:

1,75=a+3

a = -1,25

Nun wieder zusammen mit dem Scheitelpunkt einsetzen:

y = -1,25(x-4)^2+3 und ausmultiplizieren

y = -1,25(x^2-8x+16)+3

y = -1,25x^2 + 10x - 20+3

y = -1,25x^2 + 10x -17

~plot~-1,25x^2+10x-17;{4|3};{5|1,75}~plot~

Answer 3

a) S(4 | 3) ; P(5 | 1.75)

Öffnungsfaktor bestimmen

a = (Δy) / (Δx)^2 = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2 = (1.75 - 3) / (5 - 4)^2 = -1.25

Scheitelpunktform aufstellen

f(x) = a * (x - Sx)^2 + Sy = -1.25 * (x - 4)^2 + 3

b) S(0 | -1) ; P(1 | 4)

Öffnungsfaktor bestimmen

a = (Δy) / (Δx)^2 = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2 = (4 - (-1)) / (1 - 0)^2 = 5

Scheitelpunktform aufstellen

f(x) = a * (x - Sx)^2 + Sy = 5 * (x - 0)^2 + (-1) = 5 * x^2 - 1

Answer 4

b) Stelle eine Funktionsgleichung für eine Funktion auf, deren Graph im Punkt SP\((0 | -1)\) den Scheitelpunkt hat und durch den Punkt P\((1 | 4)\) verläuft.

Ich verschiebe den Scheitelpunkt  SP\((0 | -1)\)  um \(1\) Einheit nach oben  SP´\((0 | 0)\). Da ist nun eine doppelte Nullstelle:

 \(f(x)=ax^2\)

P\((1 | 4)\) → P´\((1 | 5)\):

\(f(1)=a=5\)

\(f(x)=5x^2\)

um \(1\) Einheit nach unten:

\(p(x)=5x^2-1\)

Ich stelle beide Funktionen im Bild dar, damit die Vorgehensweise ersichtlich ist.