Von der Funktion f mit y=(x³-4x)/(x²-x-2) sind etwa Definitionsmenge.Polstellen,Asymptoten zu berechnen

Question

Von  der Funktion f mit y=(x³-4x)/(x²-x-2) sind Def.Menge, die Unstetigkeitsstellen, die Polstellen, die Asymptoten und die Grenzwerte lim x gegen -1, gegen 0 und noch gegen 2:

a.)

Mittels durchprobieren habe ich folgende Definitionsmenge aufgestellt;

D=Summe der Reellen Zahlen \{2;-1}

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b.)

y=[(x³)/(x²-x-2)]-[(4x)/x²-x-2))

=(-2x+1)/(-x-1)

=-x/(-x-1)

=-1

Meine Idee hier, war es die Definitionslücke zu schließen und damit die Funktion stetig zu machen. Nun steht aber in der Angabe, dass ich die Unstetigkeitsstellen berechnen soll. Meine Rechnung möchte ich gerne dahin interpräterien wenn ich eine Stelle gefunden habe wo eine "hebbare Definitionslücke" geschlossen werden kann, habe auch ich die Unstetigkeitsstelle gefunden. Geht es auch anders?

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y=(x³-4x)/(x²-x-2) 

Die Funktion hat bei 2 eine Polstelle weil dann der Nenner 0 wird. Somit ist die Funktion an dieser Stelle nicht gefunden und die Unstetigkeitsstelle beträgt 2.

Warum sollte die 2 nun als hebbare Unstetigkeisstelle angegeben werden?

x=2

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c:) Polstellen berechnen:

y=(x³-4x)/(x²-x-2) 

x=-1, damit wird mein Nenner Null und ich habe bei x=-1 meine erste Polstelle gefunden.

.....gibt es auch eine zweite Polstelle?

y=(x³-4x)/(x²-x-2) 

= (2³-4*2)/(2²-2-2)

=(8-8)/(4-4)

=(0/0)...................Hier kann ich abbrechen oder muss ich jetzt die Polynomdivision machen?

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d.) Asyptoten

y=(x³-4x)/(x²-x-2) 

= (2³-4*2)/(2²-2-2)

=(8-8)/(4-4)

=(0/0)

PD:

x³-4x : x²-x-2=x+1      ......das ist wieder mein A(x) wo sich die Funktion im unendlichen annähert oder?

Oder ist hier tatsächlich meine Asymptote y=x+1 und den Faktor 1 nehme ich für meine schiefe Asymptote? Woran soll ich erkennen ob es sich um eine Asymptote, schräge Asymptoten oder auch einer schiefen Asymptote bzw. gar nichts von allen handelt.

Ich denke ich nehme den Hospital, jedoch habe ich den noch nicht gehabt:

R;

y=(x³-4x)/(x²-x-2) 

=(3x²-4)/(2x-1)

=(3x²-2)(x-1)

=3x+2

Lt. Lösung sollen meine Asymptoten bei x=-1 und y=x+1 liegen.

Da bin ich mit der Polynomdivision dabei aber warum liefert mir der Hospital nicht dasselbe Ergebnis?

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e.) die Grenzwerte......................

lim x gegen -1:

R:

y=(x³-4x)/(x²-x-2) 

(-1³-4*-1)/(-1²+1-2)

=(-1+4)/(1-1-2)

=3/-2..........................ZG>NG=unendlich

E: +/- unendlich

lim x gegen 0:

R:

y=(x³-4x)/(x²-x-2) 

=(-0³-4*0)/(0²+0-2)

=0/-2.....................Z/Z=0

E: 0

lim x gegen 2:

R:

y=(x³-4x)/(x²-x-2) 

=(2³-4*2)/(2²-2-2)

=(8-8)/(4-2-2)

=0/0

Hier sollte 8/3 rauskommen, das bekomme ich jedoch auch mit einer Polynomdivision nicht raus?

Comments

zu a)

D=Summe der Reellen Zahlen \{2;-1}

Nicht "Summe", sondern "Menge",
nicht "Reelle Zahlen", sondern "reelle Zahlen"!
Oder gleich so:

$$\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \left\{-1, 2\right\} $$

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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx:-)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

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zu b) Unstetigkeitsstellen:

Rationale Funktionen sind immer in ihrem ganzen Definitionsbereich stetig. Nun neige ich dazu, dass einer Funktion außerhalb ihres Definitionsbereichs auch keine Eigenschaften wie stetig oder unstetig zukommt. Hingegen ist die Frage, ob die Funktion an ihren Definitionslücken stetig hebbar ist, schon interessanter. Aber diese Frage wird ja ohnehin im Zusammenhang mit den Polstellen geklärt.

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zu c) Polstellen

Polynomdivision ist sicher unangemessen, Zähler und Nenner lassen sich vollständig faktorisieren:
$$ y = \frac {x^3-4x} {x^2-x-2} = \frac {(x+2)\cdot x\cdot (x-2)} {(x+1)\cdot (x-2)} $$Jetzt sieht man: Es gibt zwei Nullstellen, eine hebbare Lücke und eine Polstelle.

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Meine Polstelle ist -1 aber wie erkenne ich die hebbare Lücke?

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Die die Funktion ist an der Stelle \(x=2\) stetig hebbar, da der zugehörige Linearfaktor \((x-2)\) vollständig aus dem Nenner herausgekürzt werden kann. Im Gegensatz dazu kann der zur Polstelle \(x=-1\) gehörende Linearfaktor nicht vollständig aus dem Nenner herausgekürzt werden.

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Ok danke.

lim x gegen 2: 

R:

y=(x³-4x)/(x²-x-2)  

=(2³-4*2)/(2²-2-2)

=(8-8)/(4-2-2)

=0/0

Was soll ich jetzt denn machen mit dem Ergebnis 0/0. Es soll doch 8/3 herauskommen?

Answer 1

Funktion

f(x) = (x^3 - 4·x) / (x^2 - x - 2)

f(x) = x·(x + 2)·(x - 2) / ((x + 1)·(x - 2))

Nullstellen (Zähler = 0 und Nenner ≠ 0)

x = 0 oder x = -2

Definitionslücken (Zähler = 0 und Nenner = 0)

x = 2

Polstellen (Zähler ≠ 0 und Nenner = 0)

x = -1

Definitionsmenge (R ohne Definitionslücken und Polstellen)

D = R \ {-1; 2}

Stetig ergänzte Funktion

g(x) = x·(x + 2) / (x + 1) = (x^2 + 2·x) / (x + 1)

Asymptote über Polynomdivison

g(x) = (x^2 + 2·x) / (x + 1) = x + 1 - 1/(x + 1)

y = x + 1

Comments

Wie kommt man auf die stetig ergänzte Funktion und was mache ich mit dieser?

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Du kürzt einfach die gemeinsame Nullstelle des Zählers und Nenners weg.

Für die eigentliche Kurvendiskussion und auch der Berechnung der Asymptote ist es günstig die stetig ergänzte Funktion zu nehmen.

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In meiner Lösung steht, dass ich bei x=-1 auch noch eine Asymtote habe.

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Ja. eine vertikale Asymptote. Das ist die Polstelle.