Vollständige Induktion n^3 + 5n stets durch 6 teilbar

Question

Hey

steh grad ein bisschen auf dem Schlauch.

Hab hier zwei Aufgaben:

1. Zeigen Sie mittels Induktion über n, dass n^3 + 5n stets durch 6 teilbar ist.

Mein Ansatz dafür ist auf A(n+1): ((n+1)^3 + 5(n+1)) mod 6 = 0 zu prüfen.

2. Bestimmen Sie die letzte Ziffer von 71^n für alle n Element der natürlichen Zahlen.

Hier weiss ich zwar, dass die letzte Ziffer eine 1 ist, aber das habe ich durch ausprobieren herausgefunden.

Answer 1

Man zeige das es für n = 1 gilt:

n^3 + 5n = 1^3 + 5*1 = 6

Demnach ist es für n = 1 erfüllt.

Nun zeigt man das es für n+1 gilt unter der Annahme, dass es für n = 1 gilt.

(n+1)^3 + 5(n+1)
= (n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) + (5·n + 5)
= (n^3 + 5n) + (3·n^2 + 3·n) + 6
= (n^3 + 5n) + (3·n·(n+1)) + 6

Der erste Summand ist durch 6 teilbar nach Annahme. Der dritte Summand ist auch durch 6 teilbar.
Der beim mittleren Summand entweder n oder n+1 gerade ist ist der mittlere Summand auch durch 6 teilbar.

Das war zu zeigen.

Comments

2. Bestimmen Sie die letzte Ziffer von 71ⁿ für alle n Element der natürlichen Zahlen.

Für n = 1 ist das klar 1.

Nun zeigen wir das es für n+1 gilt, wenn es für n gilt.

Wenn bei 71^n hinten eine 1 steht lässt es sich schreiben als

71^n = 10a + 1

71^{n+1} = 71 * 71^n = 71 * (10a + 1) = 710a + 71 = Durch den Faktor 10 hat 710a hinten auf jedenfall eine 0. Wenn ich dazu 71 addiere habe ich einen Einer. 

Das war zu zeigen.

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Wie kommt man denn auf 71^n = 10a + 1 ????

Alles andere ist sehr logisch. Danke.

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Welche Zahlen erhältst du, wenn du in

10a + 1

für a mal irgendwelche natürliche Zahlen einsetzt ?

Setz also mal a = 1, 2, 3, ... ein und schaue was dabei heraus kommt.

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11, 21, 31, ..., 71, ...
Das erklärt mir aber immer noch nicht, wie ich auf sowas komme. Das ist häufig bei solchen Beweisen so: einfach ist es, wenn eine Gleichung mit zwei Seiten gegeben ist und schwierig, wenn man die zweite Seite noch aufstellen muss.Hast du einen Tipp, wie man auf sowas kommt?

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Das solltest du an ein paar Beispielen einfach üben

Jede gerade Zahl kann man schreiben als ...

Jede ungerade Zahl kann man schreiben als ...

Jede Zahl, die auf 8 endet kann man schreiben als ...

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Ich danke dir für deine Auskunft, ich werde es versuchen.