Exponentialfunktion mit komplexer Zahl

Question

angenommen ich habe eine komplexe Zahl z: = a + b*i

Dann ist exp(a+b*i) = exp(a) * exp(bi)

Mir ist auch bekannt das exp(bi) auf dem Einheitskreis liegt, doch ich würde gerne verstehen wieso das so ist.

b ist ja das Bogenmaß. Also angenommen man hätte jetzt 3i, dann liegt der punkt exp(0 + 3i) doch nicht auf dem Einheitskreis. :O

Ich hätte nun versucht das ganze mit |z| = √(a² + b²) zu beweisen/berechnen, aber irgendwie komme ich auf keine vernünftige Lösung.

Kann mir bitte jemand von euch weiterhelfen?

LG

Answer 1

\(  e^{ib} \) ist ja definiert als \( e^{ib} = \cos(b) + i \cdot \sin(b) \) Eine komplexe Zahl \( z \) die auf dem Einheitskreis liegen soll muss \(  Re(z)^2 + Im(z)^2 = 1 \) erfüllen, was bei \( e^{ib} \) der Fall ist, weil ja gilt \( \cos^2(b) + \sin^2(b) = 1 \)