Tangente bzw. eine Sekante zum Kreis

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von \( a \) ist \( g \) eine Tangente bzw. eine Sekante zum Kreis \( k ? \)

\( \begin{array}{lr} g: \quad x+y=a \\ k: \quad x^{2}+y^{2}=1 \end{array} \)

Kurze Lösungshinweise: Tangente: \( a_{1}=\sqrt{2} \) und \( a_{2}=-\sqrt{2} \) Sekante: \( -\sqrt{2}<a \sqrt{2} \)

Ansatz/Problem:

Ich finde nicht den Weg für die Lösung. Woher kommen die Werte (Tangente: a1 = √2 und a2 = −√2 Sekante: −√2 < a√2)?

Answer 1

Ich versuche es zunächst einmal ohne Skizze

g : x + y = a
Ist eine Gerade
y = -x + a
Diese Gerade hat die Steigung -1.

k : x^2 + y^2 = 1
Dies ist die Kreisgleichung
y = √ ( 1 - x^2 )
y ( x ) = √ ( 1 - x^2 )
Wir suchen jetzt den Punkt an dem die 1.Ableitung = Steigung
auch-1 ist
y ´ ( x ) = -2*x / ( 2 * √ ( 1 - x^2 ) )
y ´ ( x ) = -x / √ ( 1 - x^2 )
-x / √ ( 1 - x^2 )  = -1
x =  √ ( 1 - x^2 )  | quadrieren
x^2 = 1 - x^2
2 * x^2 = 1
x^2 = 1/2
x = ± √ ( 1 /2 )
x = ± 0.707

Funktionswert an der Stelle
y ( x ) = √ ( 1 - x^2 )
y ( x ) = √ ( 1 - 0.5 )
y ( x ) = ± 0.707

( 0.707 | 0.707 )
Tangente
y = m * x + a
0.707 = -1 * 0.707 + a
a = 1.414
y = -1 * x + 1.414

~plot~ sqrt( 1 - x^2 ) ; -1*x + 1.414 ~plot~

Die andere Tangente kannst du vielleicht jetzt selbst ausrechnen.

Na ja : -1 * x - 1.414

Liegt der y-Achsenabschnitt zwischen -1.414 und 1.414 dann
schneidet die Tangente den Kreis.

Comments

Was bedeutet: die Sekante: −√2 < a√2)?

Wo liegt die Sekante in dieser Fall? Welche Punkte hat die Sekante?

Vielen Dank für eure Antwort! :-)

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Die Tangenten haben die Gleichung

√ 2 = 1.414

t1 = -1 * x + √ 2
und
t2 = -1 * x -  √ 2

√ 2 ist der y-Achsenabschnitt

Die Sekanten liegen im Bereich zwischen den Tangenten mit den
y-Achsenabschnitten x > - √ 2  und x < √ 2

Hier das Beispiel für
t2 = -1 * x  + 1

~plot~ sqrt(1-x^2) ; -1*x+sqrt(2)  ; -1*x-sqrt(2)  ; -1*x+1 ~plot~