tschebyscheff erwartungswert und Varianz

Question

Aufgabe:

Eine Zufallsvariable \( X \) habe den Erwartungswert \( E(X)=5 \) und die Varianz \( V(X)=4 \)

a) Berechnen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyscheff eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit \( P(|x-E(X)|<3) \)

b) Ermitteln Sie ein Intervall, in dem die Werte von \( X \) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 liegen.

c) Wie groß muss \( \lambda \) in der Ungleichung von Tschebyscheff gewäahlt werden, damin die Wahrscheinlichkeit \( P(|x-5| \geq \lambda)=0,81 \) ist?

d) Für welche Zahlen \( \lambda \) nimmt die Zufallsvariable \( X \) Werte aus dem lntervall \( (5-\lambda, 5+\lambda) \) einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 an?

e) Schätzen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyscheff ab:

(i) \( P(|X-5| \geq 3) \)
(ii) \( P(|X-5|<10) \)
(iii) \( P(1<X<9) \)

Answer 1

Die Chebychev-Ungleichung besagt:

Für eine ZV \(X\) mit endlicher Varianz gilt

$$ P(|X-E[X]| \geq \varepsilon) \leq \frac{Var[X]}{\varepsilon^2} .$$

Tipps:

a) Gegenereignis und dann die Ungleichung benutzen.

b) Gegenereignis: Wenn die Werte mit W-Keit 0,9 IM Intervall liegen sollen, so liegen sie mit W-Keit 0,1 außerhalb. Benutze

$$ P(|X-E[X]| \geq \varepsilon) \leq \frac{Var[X]}{\varepsilon^2} $$

und setze die rechte Seite gleich 0,1.

Die anderen Aufgaben funktionieren so ähnlich. Probier das erst mal. Bei Rückfragen stehe ich gerne zur Verfügung.