Integration von f(x) = 1/(e^x - 1). Substitution

Question

bitte um Hilfe. Es geht um folgende Aufgabe:

$$\int { \frac { 1 }{ { e }^{ x }-1 } dx } $$

Substitution $$t={ e }^{ x }-1$$

Mein Lösungsweg:

$$\int { \frac { 1 }{ t }  } dx$$

$$dx=\frac { dt }{ { e }^{ x } } $$

$$\int { \frac { 1 }{ t } \frac { dt }{ { e }^{ x } } =\frac { 1 }{ { e }^{ x } } \int { \frac { 1 }{ t } dt=\frac { 1 }{ { e }^{ x } } ln\left| t \right|  } +C=\frac { 1 }{ { e }^{ x } } ln\left| { e }^{ x }-1 \right|  } +C$$

Stimmt die Rechnung?? oder hab ich einen Fehler??

Answer 1

Hi, einfacher wäre es sicher so:
$$ \int { \frac { 1 }{ { \text{e} }^{ x }-1 } \text{d}x } = \int { \left(\frac {{ \text{e} }^{ x } }{ { \text{e} }^{ x }-1 }-1\right) \text{d}x } $$

Answer 2

das funktioniert gar nicht. Du kannst nicht einfach \(e^x\) aus dem Integral ziehen.

Richtig wäre zu verwenden: \( e^x = t+1 \) gemäß deiner Substitution, und du kommst zu dem Integral:

$$ \int \frac{1}{t} \frac{1}{e^x}dt = \int \frac{1}{t \cdot (t+1)} dt$$

Ab hier kommst du bestimmt selber weiter

Gruß

Answer 3

Hi,

Deine Grundidee ist richtig, doch merke Dir, dass wenn Du die Substitution verwendest nur die neue Variable enthalten sein darf. Du betrachtest ja nun den Teil mit e^x im Nenner als Konstant und vernachlässigst diesen so!

Erinnere Dich an Deine Substitution: t = e^x - 1, womit e^x auch geschrieben werden kann als e^x = t + 1. Das ersetze also noch (sozusagen eine doppelte Subst.)

Damit ergibt sich für das Integral

$$\int \frac{1}{t(t+1)} \;dt$$

Hier kommst Du sicher alleine weiter. Tipp: Partialbruchzerlegung.

Grüße

Comments

:D

---

Beim Nenner soll das nicht + anstatt - sein???

Answer 4

Wie bereits gesagt darf das Integral später nur noch die zu integrierende Variable enthalten auch darf ein Term mit einer anderen Variablen als Faktor nach außen gezogen werden. Das ist nur mit konstanten Faktoren erlaubt.

Benutze z.B. Wolframalpha für das Smartphone oder Tablet um eine Lösung zu bekommen an der Du lernen kannst wie man sowas macht.