Quadrat und Kreis Verhältnis

Question

In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte eines Quadrats und eines Kreises, wenn ihre Umfänge übereinstimmen?

Answer 1

Wenn die Umfänge gleich sind, gilt:

2πr = 4a

a = r*π/2

Das Verhältnis von Quadratfläche zur Kreisfläche ist:

A_Q/A_K = a² / (π*r²)

jetzt die Beziehung von oben für a einsetzen:

A_Q/A_K = r² *π²/4 /(π*r²) ergibt:

A_Q/A_K = π/4

Das Verhältnis ist Pi Viertel

Answer 2

$$ \frac { \left( \frac u4 \right)^2} { \pi\cdot \left(\frac u{2\pi}\right)^2 } = \frac {\pi } { 4 } $$

PS: Rechnung verbessert!

Answer 3

Quadrat

U = 4*a
a = U/4
A_Q = a^2 = (U/4)^2 = U^2/16

Kreis

U = 2*pi*r
r = U/(2*pi)
A_K = pi*r^2 = pi*(U/(2*pi))^2 = U^2/(4*pi)

Verhältnis

A_Q / A_K = (U^2/16) / (U^2/(4*pi)) = pi/4