Die Abbildung \(\varphi:\mathbb R^m\setminus\{0\}\to \mathbb R, x\mapsto \|x\| = \sqrt{x_1^2+...+x_m^2} \) ist differenzierbar, als Komposition der differenzierbaren Abbildungen \(\mathbb R^m\setminus\{0\} \to\mathbb R\setminus \{0\}, x\mapsto x_1^2+...+x_m^2\) (als Polynom) und der Wurzelfunktion \(\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R, x\mapsto \sqrt{x}\).
Es gilt nach Kettenregel \(D\varphi(x) = \frac{1}{\|x\|}\cdot x^T \)
Ist nun \(x\in\mathbb R^n\) mit \(f(x) \neq 0\), so ist dann \(\varphi\) in \(f(x)\) differenzierbar und \(f\) in \(x\) differenzierbar, also \(\varphi\circ f\) differenzierbar in \(x\) mit Ableitung
$$D\|f(x)\| = \frac{1}{\|f(x)\|}f(x)^T\cdot Df(x)$$
