Gleichung mit ln und e lösen. ln((y-1)/y)=ex²+c nach y auflösen.

Question

Ich will die Gleichung ln((y-1)/y)=e^{x^2+c} nach y auflösen.

Wolframalpha zeigt als Lösung: $y=\frac{1}{1-e^{e^{c+x^{2}}}}$

Ich verstehe aber nicht, warum es zu e^e^{x²+c} kommt.

Answer 1

LN((y - 1)/y) = EXP(x² + c)

(y - 1)/y = EXP(EXP(x² + c))

1 - 1/y = EXP(EXP(x² + c))

1 - EXP(EXP(x² + c)) = 1/y

1/(1 - EXP(EXP(x² + c))) = y

y = 1/(1 - EXP(EXP(x² + c)))

Comments

meine F(0) = 1/2 sein soll. d.h. 1/(1-e^{e^c})=1/2 . In diesem fall e^{e^c} = -1 aber da existiert nicht?  ( es geht um AWP hier)

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was passiert wenn wir beim Lösen des Anfangswertproblems auf solche Sachen kommen (wenn es  keine reelle C gibt)?

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Dann wär das Problem nicht lösbar. Es sei denn du hast an anderen Stellen noch irgendwelche Konstante vergessen.

Answer 2

Es wird das vierte Logarithmusgesetz benutzt. https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus

Die Basis von ln ist e.

ln(B) = A           | e^...

B = e^A

Grund ln und e^... sind Umkehrungen voneinander.

In deiner Gleichung musst du y rausschälen. Also erst mal den ln links wegbringen mit e^... links und rechts.

Answer 3

ich verstehen aber nicht warum es zu e^ex2+c kommt?