Lineare Unabhängigkeit von 3 Polynomen

Question

Wir betrachten ren reellenn Vektorraum V aller Funktionen von |R nach |R sowie die folgenden Vektoren in V:

h1: |R->|R: x->1;  h2: |R->|R: x->x-2;  h3: |R->|R: x->(x-2)^2

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a) Die Funktionen h1, h2 und h3 sind linear unabhängig.

Wie kann ich beweisen dass die Funktionen linear unabhängig sind oder nicht?

Comments

Zeige, dass die Gleichung \(a\cdot h_1+b\cdot h_2+c\cdot h_3=0\) mit \(a,b,c\in\mathbb R\) nur die triviale Lösung \(a=b=c=0\) hat.

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Kannst du mir bitte weiter helfen?

$$ a\cdot 1\quad +\quad b\cdot (x-2)\quad +\quad c\cdot { (x-2) }^{ 2 }=0 $$

Mir ist klar dass a=0 sein muss. Wie soll ich denn beweisen dass b=c=0 ? x kann z.B. 2 sein, dann müssen b und c nicht unbedingt 0 sein.

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Multipliziere nun aus und sortiere nach Potenzen von \(x\):$$c\cdot x^2+(b-4c)\cdot x+(a-2b+4c)=0.$$Die Koeffizienten des quadratischen Polynoms sind also alle gleich Null. Daraus folgt der Reihe nach \(c=0, b=0, a=0\).

Answer 1

h₁ , h₂ , h₃  sind linear unabhängig wenn∃ c₁ , c₂ , c₃ ∈ ℝ sodass c₁h₁+c₂h₂+c₃h₃=0 ⇒ c₁=c₂=c_3.