Differenzialrechnung: Tangenten an f: y= 0.5x^3 die normal zur Geraden g: 6x + y= 0 stehen?

Question

Hallo :)

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe erklären:

Bestimme die Gleichungen derjenigen Tangenten an den Graphen der Funktion

f: y= 0.5x³ die normal zur Geraden g: 6x + y= 0 stehen.

Lösung: t1: 9x- 54y+ 2= 0, t2: 9x-54y-2=0

Liebe Grüsse

Mathematik8

Answer 1

f: y= 0.5x³ die normal zur Geraden g: 6x + y= 0 stehen.

f ´( x ) = 1.5 * x^2

Gerade
y = -6 * x
Steigung : -6

Steigung Normale dazu
n = - 1/ (-6)
n = 1/6

Wo hat die Funktion die Steigung 1/6 ?

f ´( x ) = 1.5 * x^2 = 1/6
x^2 = 1/9

x = 1/3
und
x = -1/3

Funktionswert der von f von x bei 1/3
f (1/3) = 0.5 * (1/3)^3 = 0.01852

Tangente
0.01852 = 1/6 * 1/3 + b
b = -0.037

t ( x )  = 1/6 * x - 0.037

~plot~ 0.5*x^3 ; -6 * x ; 1/6 * x - 0.037 ~plot~


Die 2. Tangente wäre entsprechend zu berechnen.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Ich habe die Schritte verstanden, verstehe aber nicht wie man von 0,5*x^3;-6*x;1/6*x-0,037 zur Lösung  t1: 9x- 54y+ 2=0  kommt.

Liebe Grüsse

Mathematik7

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9x- 54y+ 2= 0

9x + 2 = 54y | : 54
y = 9/54 * x + 2 / 54
y = 1/6 * x + 0.037

und entspricht dann meiner Schreibweise.

Answer 2

normal zur Geraden g: 6x + y= 0.

Bedeutet senkrecht auf g.

Da g: y = -6x ist die Steigung von g: m_g = -6

Die gesuchten Tangenten müssen daher die Steigung m_t = 1/6 haben.

Grund: Es muss gelten: m_t * m_g = -1

Comments

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