Taylorpolynom, Fehler abschätzen und Bogenmass

Question

Entwickle die Funktion f(x) = (sin(x))² in eine Taylorreihe an der Stelle x₀ = 0.75π. Schätze die Genauigkeit des Polynoms bis n = 5 ab für Werte, die sich von x₀ um weniger als ein Bogengrad unterscheiden.

Ich verstehe diese Aufgabenstellung nicht ganz. Die Reihe habe ich.

Ich kenne diese Formel:

$$R_n(x,x_0) = \frac {f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}$$

Leider komme ich nicht mit dem Bogengrad zurecht. Heisst das, unser x wäre hier 0.75+1= 0.76? Oder ist unser x diese Abweichung, also 0.01?

Answer 1

schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Grad_%28Winkel%29&redirect=no

ist also wohl nur ein vornehmer Name für das normale Gradmaß, also
1° entsricht  2pi/360 ungefähr 0,01745.
Das wäre dann der Wert für x-xo   und das xo ist ja 0,75pi.
Dann müsstest du das mit der Restgliedformel abschätzen können.

Comments

Leider verstehe ich 2 Dinge nicht. Die Musterlösung sagt:
Der Fehler ist kleiner gleich:
$$0.000000000000006264566311 = \frac {2^{7-1}}{7!}(\frac {\pi}{180})^7$$

1. Wieso nimmt die Musterlösung das siebte Glied als Restglied? In der Aufgabe steht doch, dass man bis n = 5 gehen soll. Folglich hätte ich sechste Ableitung für das Restglied genommen.
2. Ich verstehe nicht, was man für das x in die Formel einsetzen muss.

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Wäre froh, wenn mir jemand eine Antwort geben könnte.

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Wäre froh, wenn mir jemand meine Frage beantworten könnte.

Nochmals von vorne, die Taylorreihe bis zum Grade 4:

$$\frac {1}{2} -(x-\frac {3\pi}{4}) + \frac {2}{3}(x-\frac{3\pi}{4})^3-...$$

Jeder zweite "Exponent" fehlt weg, die Reihe ist alternierend.

Nun die Fehlerabschätzung.

$$R_n(x,x_0) = \frac {f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1} = \frac {f^{(5)}(x)}{5!}\cdot (\frac{\pi}{180})^5= \overbrace{\frac{32sin(x)cos(x)}{120}}^{5. Ableitung }\cdot(\frac {\pi}{180})^5$$

Nun soll man ja jeweils abschätzen, wo diese Funktion maximal ist. Das Maximum wäre 32. So erhalte ich aber eine falsche Lösung, nicht diejenige, die weiter oben erwähnt wird.

Wo liegt bitte mein Fehler?