Man bestimme f' und f'' in Abhängigkeit von x und y.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten eine Funktion \( y=f(x) \), welche implizit durch

\( x^{2} y+e^{y-3}=13 \)

gegeben ist. Der Punkt \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(2,3) \) erfüllt diese Gleichung.

(a) Man bestimme \( f^{\prime} \) und \( f^{\prime \prime} \) in Abhängigkeit von \( x \) und \( y \).

(b) Man bestimme das Taylorpolynom 2. Grades von \( f \) im Entwicklungspunkt \( x_{0}=2 \) und berechne näherungsweise \( f(2,01) \).

Ansatz/Problem:

Ich weiß wie man (a) und (b) macht. Das ist einfach. Aber ich weiß nicht wie ich die funktion bekomme. Soll ich einfach die funktion nach "y" auflösen und dann als y umtauschen? also:

y = 13/x²  - e^y-3/x²   und dann als f(x,y) = 13/x²  - e^y-3/x² setzen? Löst man die aufgabe so?

ach und noch etwas: unter (b) weiß ich wie man das Taylorpolynom 2 grades im Punkt x0=2 setzt. Das ist einfach.

Aber was mache ich mit der näherungsweise f(2,01)?

Answer 1

Du kannst die Funktion nicht einfach nach y Auflösen.

Gefragt ist hier denke ich die Implizite Differentiation.

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

Comments

Also tausche ich einfach alle Y mit f(x) und dan leite ich einfach nach x ab:

x²*f(x) + e^f(x)-3 = 13

[x²*f(x) + x²*f(x)] + [f(x)-3]e^f(x)-3 = 13 (boldiert ist was abgeleitet wird)

2x*f(x) + f‾(x)*x² + f‾(x)e^f(x)-3 = 0

f‾(x)[2x*f(x) + x^{2 +} e^f(x)-3] = 0

ist das richting oder springe ich über einen Hai??

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Nein das ist so richtig.

Eventuell kann man aber zu Anfang die ganze Gleichung mal x^2 nehmen.

Dann hat man nicht die blöden Brüche.

Man kann auch statt f(x) einfach y stehen lassen. Man muss nur dran denken das daraus bei einer Ableitung y' wird.

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Erstmal muss das so dastehen, dass eine Seite Null ist, sonst kanns später Stress geben
$$ x^2y + e^{y-3}-13=0 $$
Und man multipliziert noch dividiert mit Variablen, nur um kosmetische Verschönerungen zu erreichen, weil das Einfluss auf die Lösungsmenge hat (oder haben kann - jenachdem). Wenn, dann nur wenn es absolut unumgänglich ist unter sorgfältiger Berücksichtigung der daraus entstehenden Fälle.$$$$
1. Ableitung nach x:
$$ 2xy =0 $$
2. Ableitung nach x:
$$ 2y =0 $$
1. Ableitung nach y:
$$ x^2 + e^{y-3} =0 $$
2. Ableitung nach y:
$$ e^{y-3} =0 $$

Und Üpsilong bleibt Üpsilong und wird nicht zum Effonix - das issesnämlichnich!

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So hätte ich das gemacht:

x^2·y + e^{y - 3} = 13

Beide Seiten nach x ableiten

2·x·y + x^2·y' + e^{y - 3}·y' = 0

x und y einsetzen und dann nach y' auflösen

y' = - 2.4

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Jetzt kapiere ich nichts mehr. 
ich habe eine formel gesehen, die so aussieht:

y^Ι = - F(x)/F(y)

also: y^Ι = - 2xy/x² + e^y-3

Ist das richtig oder nicht???

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Ja. Du kannst das auch mit der Formel machen.

Vielleicht machst du das einmal über Formel und einmal von Hand. Es gibt zwar auch für die 2. Ableitung eine Formel aber da die nicht wirklich leicht zu merken ist sollte man das auch von Hand machen können.

Spätestens bei der 3. Ableitung bekommst du aber eine Kriese mit einer allgemeinen Formel

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@mathecoach

Zitat:

Beide Seiten nach x ableiten

2·x·y + x²·y' + e^{y - 3}·y' = 0

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Nööö, das isnichwahr - oder?!

Du leitest gleichzeitig nach x UND nach y ab !

Das läuft so ganz sicher nicht - bitte überleg noch mal ganz in Ruhe was partielle Ableitung genau bedeutet.

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Ich leite nicht partiell ab.

Ich habe in der Funktion ein x und ein f(x). und ich leite nach x ab. ich schreibe für f(x) nur y weils einfacher ist.

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OK - dann machen wir aus dem Hai einen Goldfisch ...

y ist von x abhängig - das klärt es auf.

Meine Variante geht ja nur, wenn  x und y voneinander unabhängige Variablen sind und das ist hier nicht der Fall.

Ich bitte die gestiftete Verwirrung zu entschuldigen.