Drei Kreise, Schnittpunkt dreier Geraden

Question

Es gibt drei Kreise, die sich paarweise (in zwei Punkten) schneiden. Ich soll rechnerisch (analytische Geometrie) zeigen, dass sich die drei Geraden, die durch diese Paare von Schnittpunkten gehen, in einem Punkt schneiden.

Es gibt keine Werte, ich soll das allgemein zeigen.

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir ein Beispiel mit Werten (oder den allgemeinen Fall) zeigen könntet, wie ich sowas rechne.

Dankee

Comments

Sind die drei Kreise unterschiedlich gross?

---

Wenn die Kreise gleich groß wären ergibt sich das als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von dem Dreieck welches durch die Kreismittelpunkte gebildet wird.

Wenn die Kreise unterschiedlich groß sein dürfen solltest du zunächst mal mit einem Zirkel und Lineal herumexperimentieren und hier ein paar Bilder einstellen. Ich habe keinen Zirkel ;)

Ich habe das aber gerade mal mit Geogebra getestet und es scheint wirklich so zu sein, dass das bei Kreisen mit verschiedenen Radien auch gilt.

Also würde ich auf jeden Fall probieren das möglichst allgemein zu zeigen.

---

ähm, wie zeige ich das allgemein? ich finde leider keinen Ansatz :(, bzw. kann mir nicht so vorstellen wie der Beweis (rechnerisch) aussehen soll. Ich habe mit Geogebra getestet, und ich habe auch kein Gegenbeispiel gefunden. also nehme ich an, dass diese Behauptung zu stimmen scheint... aber ich hätte nichts gezeigt...

---

Fange Kleinschrittig an. Schneide zwei verschiedene Kreise. Wie sieht die Schnittgerade der Kreise bezüglich der Strecke durch die Kreismittelpunkte aus.

Wo wird die Strecke durch die Kreismittelpunkte geschnitten?

Das würde ich zunächst untersuchen.

---

die Strecke durch die Kreismittelpunkte und die Schnittgerade stehen senkrecht zueinander.

Genau in der Mitte wird sie geschnitten.

Wie zeige ich das aber rechnerisch?

---

Genau in der Mitte wird sie geschnitten.

Das ist nur der Fall, wenn die Radien der Kreise gleich groß sind oder? Ich würde nicht von diesem Spezialfall ausgehen.

---

Ich würde nicht von diesem Spezialfall ausgehen.

Dieser Spezialfall ist aber der Schlüssel zum Verständnis des allgemeinen Falles.

Dazu brauchst du nur eine Dimension höher (z-Achse) zu gehen und drei gleichgroße Kugeln zu betrachten, die sich paarweise in drei parallel zur z-Achse liegenden Ebenen schneiden und diese drei Ebenen wiederum in einer Geraden g.
Den allgemeinen Fall mit drei nicht notwendig gleichgroßen Kreisen erhältst du dann durch Schnitt dieser drei Kugeln mit einer geeigneten Ebene E, die g in S schneidet.

---

Meinst du, es langt also das mit drei gleich großen Kugeln zu zeigen, deren Schnittkreise sich auf drei Ebenen befinden, die auf einer Geraden liegen und dann zu argumentieren, dass wenn man das Gebilde durch eine weitere Ebene schneidet, man drei verschieden große Kreise erhält, deren Geraden durch die Schnittpunkte sich in einem Punkt schneiden?

Oder meinst du, dass langt fürs Verständnis und man muss es danach trotzdem noch mit Mitteln der analytischen Geometrie zeigen.

---

Du (nicht der Fragesteller) warst der Adressat meines Kommentars (sieht man daran, dass er sich auf ein Zitat von dir bezieht) und er sollte dein Verständnis wecken (was nach  Ich habe das aber gerade mal mit Geogebra getestet und es scheint wirklich so zu sein, dass das bei Kreisen mit verschiedenen Radien auch gilt erforderlich schien).
Vom Fragesteller wird demgegenüber laut Aufgabenstellung doch ausdrücklich eine Rechnung verlangt !

---

Mir war schon klar, dass es gilt. Denn Aufgabe war es zu zeigen und nicht zu prüfen, ob es gilt. Übrigens habe ich die Aufgabe seit nahezu 10 Jahren hier fertig rumliegen.

Es gab allerdings immer mal wieder Zeiten, bei denen ich die Fragesteller animieren wollte, selbst etwas zu erforschen.

Answer 1

Ich habe mal eine Zeichnung angefertigt und einige Besonderheiten festgestellt:

Ich berechne mal die Schnittgerade durch die Schnittpunkte von \(k_2:(x-4)^2+(y-2)^2=9\)  und \(k_3:(x-2)^2+(y+2)^2=4\)

\((x-4)^2+(y-2)^2-9=(x-2)^2+(y+2)^2-4\)

\(x^2-8x+16+y^2-4y+4-9=x^2-4x+4+y^2+4y+4-4\)

\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{8}\)

Laut Zeichnung schneiden sich die Schnittgeraden in einem Punkt.

Sie stehen außerdem senkrecht auf den Dreieckseiten vom Mittelpunktedreieck.

Comments

Nur weil es in einer Zeichnung so ist, ist das kein Beweis, dass es bei allen Kreisen so sein muss, oder?

Weiterhin kann man einer Zeichnung nicht entnehmen, dass das genau ein Schnittpunkt ist und nicht doch evtl. drei, die nur sehr dicht beieinander liegen.

Also hilft die Zeichnung evtl. nur fürs Verständnis, zu zeigen ist es aber trotzdem immer noch.

Also für eine Antwort auf eine fast 10 Jahre alte Frage ist das doch ein wenig schwach meiner Meinung nach.

---

\(\red{k_1: x^2+ax+y^2+by=c}\)

\(\blue{k_2: x^2+dx+y^2+ey=f}\)  

\(k_3: \pink{x^2+gx+y^2+hy=i}\)

\(k_1-k_2:ax-dx+by-ey=c-f\) → \(\overline{\green{AB}}:y=\frac{c-f+dx-ax}{b-e}\)   mit   \(b-e≠0\)    

\(k_1-k_3:ax-dx+by-hy=c-i\)→   \(\overline{\blue{CD}}:y= \frac{c-i+dx-ax}{b-h} \)  mit \(b-h≠0\)   

\(k_2-k_3:dx-gx+ey-hy=f-i\)→  \(\overline{\pink{EF}}y= \frac{f-i+gx-dx}{e-h} \)    mit \(e-h≠0\)

Die Kreise liegen ineinander. Aber die Schnittpunkte gelten wie in der Aufgabe dargestellt.

Erstmal soweit.

Answer 2

Beitrag wurde von mir gelöscht.

Comments

Warum hast du den Hinweis auf den Satz von Miquel gelöscht?

Weil das keine Antwort ist, weil man den Satz nicht als Beweis nehmen darf?

---

Genau, man soll es ja analytisch lösen.

Also drei allgemeine Kreisgleichungen aufstellen, Schnittpunkte allgemein berechnen, Geradengleichungen aufstellen und dann zeigen, dass sie sich alle in einem Punkt schneiden. Recht mühsame Rechnerei aber straight forward…

Ok hier der Link zum Satz:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Miquel

---

Hätte man ja einfach einen Kommentar draus machen können. Hilfreich kann der Hinweis sicherlich sein.