Beweisen Sie, dass die Gruppen (ℚ,+) und (ℤ,+) nicht isomorph sind.

Question

Ich komme nicht mit Beweisen klar. Weiß jemand wie man sowas ausführlich beweist?:

Beweisen Sie, dass die Gruppen (ℚ,+) und (ℤ,+) nicht isomorph sind.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, dass die Gruppen (Q,+) und (Z,+) nicht isomorph sind

Stichworte: abbildung,analysis

Beweisen Sie, dass die Gruppen (Q,+) und (Z,+) nicht isomorph sind

Answer 1

(ℚ,+)  und  (ℤ,+)  können schon deswegen nicht isomorph sein, da  (ℚ,+)  im Gegensatz zu  (ℤ,+)  nicht zyklisch ist.

Angenommen,  (ℚ,+)  sei zyklisch. Dann existieren ein  q ∈ ℚ \ {0}  und ein  z ∈ ℤ  mit  zq = q/2. Daraus folgt  2z = 1, d.h.  1  ist eine gerade Zahl, was offensichtlich falsch ist.

Comments

@Anonym. Kannst du beweisen, dass (Z,+) zyklisch ist? Scheint mir unmöglich.

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Ganz andere frage. Um eine Gruppe im Verhältnis zu einer anderen als ismorph zu bezeichnen braucht man doch eine Funktionsvorschrift oder? Ich meine es ist ja vorgegeben, dass die Abbildung einer Gruppe auf eine andere bijektiv sein muss um isomorph zu sein. Soll ich dann um ein konkretes Gegenbeispiel zu nehmen mir selber eine Vorschrift ausdenken?

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Genau die gleiche Frage hab eich auch. Wäre echt super, falls die jemand beantworten könnte.

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@Lu. Die mir bekannte Definition einer zyklischen Gruppe (hier in additiver Schreibweise) lautet wie folgt. Es sei  G  eine Gruppe mit Verknüpfungssymbol +. Für  g ∈ G  und  n ∈ ℤ  sei

Dann ist  <g> := { n.g | n ∈ ℤ }  die von  g  erzeugte Untergruppe von  G.
G  heißt zyklisch, falls es ein  g ∈ G  gibt mit  <g> = G.
Gemäß dieser Definition ist  (ℤ,+)  zyklisch und es gilt  ℤ = <1> = <-1>.
Darüber hinaus ist jede unendliche zyklische Gruppe isomorph zu  (ℤ,+).

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Mhh ihc verstehe den beweis nicht. Könntest du kurz erlären wie du auf diese formeln für q kommst?

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Aha. Der Witz ist also, dass n in  <g> := { n*g | n ∈ ℤ }   eine ganze Zahl sein darf.

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@Anonym. Es ist  <q> = { nq | n ∈ ℤ }. Wenn  <q> = ℚ  sein soll, muss  insbesondere  q/2 ∈ <q>  sein, da q/2 ∈ ℚ  ist. Daher gibt es ein  z ∈ ℤ, mit  q/2 = zq. Wegen  <0> = {0}  ist sicher  q ≠ 0. Das führt zum Widerspruch  1 = 2z. Also kann  (ℚ,+)  nicht zyklisch sein.

Answer 2

es geht auch folgendermaßen,


Sei f: (ℚ,+)→ (ℤ,+) bel. Homomorphismus,

dann muss gelten: f(x)=f(n•(x/n))=n•f(x/n).

Nach Voraussezung n ∈ ℕ bel. und f(x), f(x/n) ∈ ℤ.


Aber dann n teilt f(x). Das ist Widerspruch zu f(x) ∈ ℤ.

Dann bleibt nur f≡0 übrig als Nullhomomorphismus!

Fertig!