zwei mal stetig differentieren: F(r,p)=f(rcos(p),rsin(p))

Question

Wie sehen hier die zweiten Ableitungen aus?

Die ersten wären soweit kein Problem:

F(r,φ)=f(rcos(φ),rsin(φ))

dF/dr = f_x cos(φ) +f_y sin (φ)

dF/dφ =-f_x (rcos(φ), r sin(φ))rsin(φ)+ f_y (r cos(φ),rsin(φ))rcos(φ)

Answer 1

Hi,\( F(r,\varphi) \) kann geschrieben werden als \( F/r,\varphi) = f(x(r,\varphi), y(r,\varphi)) \)Damit ergeben sich die Ableitungen zu$$  F_r = f_xx_r+f_yy_r $$$$ F_\varphi = f_xx_\varphi + f_y y_\varphi $$Daraus ergebn sich die zweiten Ableitungen zu $$ F_{rr} = (f_{xx} x_r + f_{xy} y_r) x_r + f_x x_{rr} + (f_{yx} x_r + f_{yy} y_r)y_r + f_y y_{rr} $$ Genausso geht auch die zweite Ableitung nach \( \varphi \)

Aus \( x = r\cos(\varphi) \) und \( y = r \sin(\varphi) \)  kann man \( x_r \) und \( y_r \) bzw. \( x_\varphi \) und \( y_\varphi \) berechnen.

Comments

Ist dann:

Fφφ = (f_xx xφ +f_xy yφ) xφ + (f_yx xφ + f_yy yφ) yφ + f_x xφφ +f_y yφφ (??)

= (f_xx (-rsin(φ) +f_xy cos(φ))(-sin(φ)r)+(f_yx (-rsin(φ))+ f_yy rcos(φ)) r cos(φ) +f_x (-rcos(φ))+ f_y (-rsin(φ))

natürlich etwas schöner aufgeschrieben dann :-)

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Fast, im ersten Ausdruck bei \( f_xy \) hast Du vor dem Cosinus ein \( r \) vergessen.

Mal eine andere Frage, brauchst Du das für die Transformation des Laplaceoperators?