Exponentialfunktion für kalte Milch aus Kühlschrank

Question

Nimmt man Milch aus dem Kühlschrank, hat sie eine Temperatur von 6° C, danach erwärmt sie sich. Die Zimmertemperatur beträgt 20°C. Dieser Vorgäng lässt sich durch den Funktionsterm beschreiben:

\( f(x)=20-14 \cdot 2^{-0,144 x} ; x \geq 0 \)

x in Minuten, f(x) in °C.

Man stellt fest: Die Erwärmung verläuft nicht linear.

Answer 1

die Formel ist für einen konkreten Fall, bei dem die Temperatur der Milch, der Umgebungsluft, die Menge der Milch vielleicht auch die Form des Milchgefäßes usw. eine Rolle spielt. Sie hat keinen universell herleitbaren Hintergrund.

Sie ist auch keine e-Funktion. Wo ist das e ?

mfg Georg

Comments

Naja, man kann das ja in eine e-Funktion umformen:
2^{-0,144*x} = e^{a*x};
-0,144*x*ln(2) = a*x;
a = -0,144*ln(2);
--> f(x) = 20 - 14 * e^{-0,144*ln(2)};
--> f(x) = 20 - 14 * e^{-0,0998};

Hoffe das hilft weiter.

lg JR

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Hallo Johann,

das Ergebnis deiner Umstellungen ist a = -0.0998.

In die Ausgangsformel eingesetzt müßte es aber lauten

f(x) = 20 - 14 * e^{ -0.0998 * x } . Oder?

Dein Funktionterm enthält nur Konstante.

mfg Georg

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Ja. Das ist richtig. Danke für die Korrektur.

Answer 2

Abkühlungsvorgang:

Ein Körper der Masse m, der spezifischen Wärmekapazität c, der Oberfläche A und der Temperatur θ_K wird in eine Umbebung mit der konstanten Temperatur θ_U gebracht. Der Wärmeübergangskoeffizient sei α, und es gilt θ_K > θ_U.

Temperatur-Zeit-Funktion θ(t)
Da die Temperatur des Körpers höher als die der Umgebung ist, wird Wärme durch die Grenzschicht (A, α) an die Umgebung abgeleitet. Für den Wärmestrom gilt:

dQ / dt = α*A*(θ - θ_U)

Der Körper kühlt sich ab. Seine Temperatur ist daher eine Funktion der Zeit θ = θ(t). Der Körper gibt in der Zeit dt die Wärmemenge dQ = -m*c*dθ an die Umgebung ab. Durch das Vorzeichen wird berücksichtigt, dass die Temperatur abnimmt (dθ < 0, dQ > 0). Setzt man die letzte Beziehung für dQ in die erst Gleichung ein , so erhält man

-m*c*dθ = α*A*(θ - θ_U)

Man formt nun so um, dass die Variable θ mit dem Differenzial dθ auf der einen Seite und das Differrenzial dt auf der anderen Seite stehen (Trennung der Variablen):

dθ/(θ - θ_U) = -α*A/ (m*c) *dt

Integriert man beide Seiten der Gleichung und setzt als untere Grenze die Anfangswerte (θ = θ_K und t = 0) und als obere Grenze die zusammengehörigen Werte der Variablen θ und t ein, so ergibt sich

∫^θ_θK (  dθ/(θ - θ_U)  )  =  -α*A/ (m*c) ∫₀^t dt

Nach Integration und umstellen erhält man die Abkühlungsfunktion:

θ(t) = θ_U + (θ_K - θ_U) * e^{(-α*A)/ (m*c) *t}

# α = Wärmeübergangskoeffizient
# m = Masse
# A = Oberfläche
# c = Wärmekapazität
# t = Zeit
# θ_U = Temperatur Umgebung
# θ_K = Temperatur Körper

Quelle: P. Müller, et.al.; Übungsbuch PHYSIK; Hanser Verlag, München; 2007; Seite 163

 

Ich denke hier sieht man ganz gut, wie die einzelnen Faktoren und Exponenten Zustande kommen. Hoffe es hilft.

 

lg JR

Comments

Naja Johann,

mit deiner Herleitung ist der Fragesteller sicherlich überfordert. Das Foto zeigt einen Sachverhalt entnommen einem Lehrbuch der gymnasialen Oberstufe Physik oder Mathematik( Vermutung meinerseits ).

Es ist eine Funktion angegeben sowie die Skizze dazu gezeichnet und es wurde die Feststellung getroffen " die Funktion ist nicht linear ". Dies soll sicherlich zum allgemeinen Verständnis eines Abkühlungsvorgangs beitragen.

Mehr ist dort nicht zu sehen.

So nebenbei : wie schafft man es das Exponenten mit mehrfacher Klammerung auch als Exponentenn richtig dargestellt werden.

mfg Georg

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Ok. Zugegeben. Aber nun kann man erklären woher es kommt. Die Exponentialfunktion erhalte ich aus der Integration, bzw. indem ich den ln auflöse und der Exponent ergibt sich aus den Parametern, die den sich abkühlenden Körper beschreiben. Der Faktor 14 ist die Differenz aus Umgebungstemperatur minus Temperatur des Körpers (hier Kühlschrank) und der Minuend 20 ist die Umgebungstemperatur.

lg JR